Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов а и в из Е выполняется условие (а, в) = ( j (а), j (в)). (49)
Свойства ортогональных преобразований.
Пусть j – ортогональное преобразование пространства Е.
10. | а | = | j (а)| для любого вектора а.
| а | = 
= 
= | j (а)|.
20. 
= 
для любых векторов а и 
.
30. Пусть Еn конечномерное евклидово пространство, е = (е1, е2,..., еn) – базис в нём, А – матрица преобразования j и Г – матрица Грама в этом базисе. Тогда j (а) = А×х, j () = А×у, где х и у – столбцы координат векторов а и соответственно; (а, ) = хТ×Г×у, (j (а), j ()) = (А×х)Т× Г ×(А×у) = х Т×(А Т× Г × А)× у. Так как (а, ) = (j (а), j ()), то Г = А Т× Г × А. Итак, матрица ортогонального преобразования удовлетворяет условию
Г = А Т× Г × А (50)
Справедливо и обратное. Если в Еn зафиксирован базис и Г – матрица Грама в этом базисе, то матрица А, удовлетворяющая условию (48), задаёт ортогональное преобразование.
Если базис е = (е1, е2,..., еn) ортонормированный, то Г = Е и формула (50) примет вид
АТ× А = Е, или АТ = А–1.
Определение 54. Квадратная матрица А называется ортогональной, если
АТ = А–1 (51).
Теорема 48. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся ортогональной матрицей.
Доказательство следует из свойства 30 и определения 53.
Теорема 49. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда сумма квадратов всех элементов любого столбца (или строки) равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных столбцов (или строк) равна нулю.
Доказательство следует из формулы 51.
Теорема 50. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный базис.
Доказательство. Þ Пусть j: Еn ® Еn ортогональное преобразование и пусть е = (е1, е2,..., еn) ортонормированный базис в Еn. Если А – матрица этого преобразования в базисе е, то А – ортогональная. Но тогда j (е) = е × А. Распишем это равенство, если
А =  .
| Получим j (ек) = а1ке1 + а2ке2 + … + аnкеn. Так как базис е ортонормированный, то
(j (ек))2 =  = (ек)2 = 1, т.е. все векторы j (ек) единичной длины. По той же причине (j (ек), j (ер)) = а1к×а1р + а2к×а2р + … + аnк×аnр = (ек, ер) = 0,
|
если к ¹ р, т.е. j (ек) ^ j (ер). Так как векторы системы j (е) попарно ортогональны, то они линейно независимы, т.е. j (е) – базис. Итак, j (е) – ортонормированный базис.
Ü Пусть е и j (е) – ортонормированные базисы. Тогда 1 = (j (ек))2 = и 0 = (j (ек), j (ер)) = а1к×а1р + а2к×а2р + … + аnк×аnр при к ¹ р. Следовательно, по теореме 49, матрица А – ортогональная.
Теорема 51. Если матрица А ортогональная, то | А | = ± 1.
Действительно, если матрица А ортогональная, то А Т× А = Е. Отсюда | А Т× А | = | Е |, | А Т|×| А | = 1, | А |×| А | = 1, | А |2 = 1, | А | = ±1.
Теорема 52. Собственные значения ортогонального преобразования могут быть только 1 или (–1).
Доказательство. Пусть l – собственное значение ортогонального преобразования j.
Тогда существует такой ненулевой вектор (х1, х2, …, хn)Т, что А×х = l×х, где А – матрица преобразования j. Равенство транспонируем и перейдём к сопряжённым числам, получим 
. Перемножим почленно оба равенства. 
. Так как А – действительная ортогональная матрица, то 
. Следовательно, 
. Отсюда 
, т.е. | l |2 = 1. Но это и значит, что собственными значениями могут быть только числа 1 и (–1).
Теорема53. Собственные векторы ортогонального преобразования, принадлежащие различным собственным значениям ортогональны.
Доказательство. Для любых а и в из Еn имеет место (а, в) = (j (а), j (в)) = (l1 а, l2 в) = = l1l2 (а, в). Так как l1 ¹ l2, то, согласно предыдущей теоремы, l1 =1, l2 = –1. Следовательно, (а, в) = – (а, в). Отсюда (а, в) = 0. Так как а и в не нулевые, то они ортогональные.
