Пусть L n – линейное n-мерное пространство над полем Р, j: Ln ® Ln – линейное преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.
Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования j, если j (а) = l× а для некоторого l Î Р. Элемент l называется собственным значением преобразования j.
По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования j Û $ l Î Р: j (а) = l× а. Перепишем это равенство в координатах, получим А× х = l× х. Отсюда А× х – (lЕ) × х = О, или (А –lЕ)× х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования j Û столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –lЕ)× х = О (38). Матрица (А –lЕ) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (38) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор
 (39)
| преобразования j Û (х1, х2, …, хn) – ненулевое решение системы (39), при этом все хк принадлежат полю Р. Так как (39) система линейных однородных уравнений и число уравнений равнее числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т.е. |
 (40)
| имеет место равенство (340). Уравнение (40) называется характеристическим уравнением матрицы А. Определитель системы, т.е. | А – lЕ |, называется характеристическим многочленом матрицы А. |
Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. (Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.
Согласно определению 40, l Î Р. Пусть l0 Î Р и является характеристическим корнем матрицы А. При l0 система (39) имеет ненулевое решение, т. е. j будет иметь собственный вектор и l0 будет собственным значением преобразования j, заданного матрицей А.
Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.
Доказательство. Пусть В = С–1×А×С. Так как матрица lЕ перестановочна с любой матрицей, то | В – lЕ | = | С–1×А×С – lЕ | = | С–1×А×С – С–1 × (lЕ)× С | = | С–1× (А – lЕ)× С | = | С–1 || А – lЕ || С | = | А – lЕ |.
Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобна, то
Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же спектр.
Определение 41. Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.
Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования j: Ln ® Ln, действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.
Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.
Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.
1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.
2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т.е. найти собственные значения).
3. Если l0 – собственное значение, то составить систему 
и найти её ненулевые решения.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования j: L4 ® L4 (над полем R), если это преобразование в базисе е = (е 1, е2, е3, е4) имеет матрицу А.
А =  .
| Решение. Составим характеристическое уравнение (*). Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение: |  (*)
|
, [(1 – l)2 – 1]×[(1– l)×(3 – l) – 6] = 0. Возможны два случая:
1) (1 – l)2 – 1 = 0, 1 – l = ± 1. Отсюда l1 = 0, l2 = 2.
2) (1– l)×(3 – l) – 6 = 0, l2 – 4 l – 3 = 0, l3 = 
, l4 = 
. Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.
1) При l = 0. 
| Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим
 Отсюда 
|
Решив последнюю систему, получим х4 = 
, х3 = 
. Если х1 = 3 С, то х2 = –3 С, х3 = 13 С, х4 = – 11 С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 0, являются все ненулевые векторы вида (3 С, – 3 С, 13 С, –11 С).
2) При l = 2. 
| Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения.
 Отсюда 
|
Решив последнюю систему, получим х3 = 
, х4 = 
Если х1 = 7 С, то х2 = 7 С, х3 = –15 С, х4 = –11 С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2, являются все ненулевые векторы вида (7 С, 7 С, –15 С, –11 С).
3) При l = . 
| Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0.
Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
|
Из этой системы  , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2 С, то  . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 +  , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2 С,  ).
| |
4) При l = . 
| Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
|
Из полученной системы  , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2 С, то  . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2 С, (1  ) С).
|
Свойства собственных векторов.
10. Если вектор а – собственный вектор преобразования j, принадлежащий собственному значению l и a ¹ 0, то a× а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению.
Если j (а) = l а, то j (a а) = aj (а) = a (l а) = l (a а).
20. Множество всех собственных векторов линейного преобразования j: Ln ® Ln, принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в Ln.
Пусть а и в два собственных вектора и j (а) = l а, j (в) = l в. Тогда j (a а + b в) = aj (а) + bj (в) = a (l а) + b (l в) = l (a а + b в).
30. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.
Пусть j (а) = l а, j (в) = l1 в, l ¹ l1. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = a а. Так как в – собственный вектор, то a ¹ 0. Тогда j (в) = j (a а). Отсюда l1 в = a(l а), l1(a а) = a(l а), a (l1 – l) а = 0. Но в левой части a ¹ 0, l1 – l ¹ 0, а ¹ 0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.
40. Если в базисе е = (е1, е2,..., ек, …, еn) вектор ек – собственный вектор линейного преобразования j, принадлежащий собственному значению l, то в к -ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к -го, стоят нули и акк = l.
