Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Пусть L _n – линейное n-мерное пространство над полем Р, j: L_n ® L_n – линейное преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.

Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования j, если j (а) = l× а для некоторого l Î Р. Элемент l называется собственным значением преобразования j.

По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования j Û $ l Î Р: j (а) = l× а. Перепишем это равенство в координатах, получим А× х = l× х. Отсюда А× х – (lЕ) × х = О, или (А –lЕ)× х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования j Û столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –lЕ)× х = О (38). Матрица (А –lЕ) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (38) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор

(39)	преобразования j Û (х1, х2, …, хn) – ненулевое решение системы (39), при этом все хк принадлежат полю Р. Так как (39) система линейных однородных уравнений и число уравнений равнее числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т.е.
(40)	имеет место равенство (340). Уравнение (40) называется характеристическим уравнением матрицы А. Определитель системы, т.е. | А – lЕ |, называется характеристическим многочленом матрицы А.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. (Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.

Согласно определению 40, l Î Р. Пусть l₀ Î Р и является характеристическим корнем матрицы А. При l₀ система (39) имеет ненулевое решение, т. е. j будет иметь собственный вектор и l₀ будет собственным значением преобразования j, заданного матрицей А.

Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть В = С^–1×А×С. Так как матрица lЕ перестановочна с любой матрицей, то | В – lЕ | = | С^–1×А×С – lЕ | = | С^–1×А×С – С^–1 × (lЕ)× С | = | С^–1× (А – lЕ)× С | = | С^–1 || А – lЕ || С | = | А – lЕ |.

Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобна, то

Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же спектр.

Определение 41. Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.

Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования j: L_n ® L_n, действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.

Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т.е. найти собственные значения).

3. Если l₀ – собственное значение, то составить систему и найти её ненулевые решения.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования j: L₄ ® L₄ (над полем R), если это преобразование в базисе е = (е ₁, е₂, е₃, е₄) имеет матрицу А.

А = .

Решение. Составим характеристическое уравнение (*). Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение:

(*)

, [(1 – l)² – 1]×[(1– l)×(3 – l) – 6] = 0. Возможны два случая:

1) (1 – l)² – 1 = 0, 1 – l = ± 1. Отсюда l₁ = 0, l₂ = 2.

2) (1– l)×(3 – l) – 6 = 0, l² – 4 l – 3 = 0, l₃ = , l₄ = . Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.

1) При l = 0.

Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₄ = , х₃ = . Если х₁ = 3 С, то х₂ = –3 С, х₃ = 13 С, х₄ = – 11 С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 0, являются все ненулевые векторы вида (3 С, – 3 С, 13 С, –11 С).

2) При l = 2.

Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения. Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₃ = , х₄ = Если х₁ = 7 С, то х₂ = 7 С, х₃ = –15 С, х₄ = –11 С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2, являются все ненулевые векторы вида (7 С, 7 С, –15 С, –11 С).

3) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из этой системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2 С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2 С, ).
4) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из полученной системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2 С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2 С, (1 ) С).

Свойства собственных векторов.

1⁰. Если вектор а – собственный вектор преобразования j, принадлежащий собственному значению l и a ¹ 0, то a× а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению.

Если j (а) = l а, то j (a а) = aj (а) = a (l а) = l (a а).

2⁰. Множество всех собственных векторов линейного преобразования j: L_n ® L_n, принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в L_n.

Пусть а и в два собственных вектора и j (а) = l а, j (в) = l в. Тогда j (a а + b в) = aj (а) + bj (в) = a (l а) + b (l в) = l (a а + b в).

3⁰. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пусть j (а) = l а, j (в) = l₁ в, l ¹ l₁. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = a а. Так как в – собственный вектор, то a ¹ 0. Тогда j (в) = j (a а). Отсюда l₁ в = a(l а), l₁(a а) = a(l а), a (l₁ – l) а = 0. Но в левой части a ¹ 0, l₁ – l ¹ 0, а ¹ 0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.

4⁰. Если в базисе е = (е₁, е₂,..., е_к, …, е_n) вектор е_к – собственный вектор линейного преобразования j, принадлежащий собственному значению l, то в к -ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к -го, стоят нули и а_кк = l.