Закон инерции квадратичных форм

Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j (а). Пусть в L_n задан базис е = (е₁, е₂, …, е_n) и пусть А – матрица данной формы в этом базисе. Пусть е¹ = (е₁¹, е₂¹, …, е_n¹) – один из базисов, в котором j (а) имеет канонический вид, и Т матрица перехода от базиса е к базису е¹. В базисе е¹ форма j (а) имеет диагональную матрицу А¹. По формуле (56) А¹ = Т ^Т× А × Т. Матрицы Т и Т ^Т невырожденные. Умножение матрицы А на невырожденную матрицу не меняет ранга матрицы А, следовательно, rang A = rang A¹, т.е. в любом базисе матрица квадратичной формы имеет один и тот же ранг.

Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве L_n называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.

Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение:

Теорема 66. Комплексная квадратичная форма любым невырожденным линейным преобразованием приводится к одному и тому же нормальному виду, состоящему из r квадратов переменных с единичными коэффициентами, т.е. j = х₁² + х₂² + … + х_r².

Если поле Р есть поле действительных чисел, то нормальный вид квадратичной формы будет j (а) = х₁² + х₂² + … + х_к² – х_к+1² – … – х_r².

Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции, разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом.

Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Доказательство. Пусть j (а) – квадратичная форма, заданная в базисе е = (е₁, е₂, …, е_n) линейного пространства L_n над полем R, а = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n. Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Пусть

j = у₁² + у₂² + … + у_к² – у_к+1² – … – у_r² =

= z₁² + z₂² + … + z_р² – z_р+1² – … – z_r². (*)

Пусть у_і = , і = 1, 2, …, n (**), и z_ј = , ј = 1, 2, …, n (***).

Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то их определители отличны от нуля. Достаточно доказать, что к = р. Предположим, что к ¹ р. Не нарушая общности, можно считать, что к < р. Составим систему уравнений у₁ = у₂ = … = у_к = z_р+1 = … = z_r = z_r+1 = … = z_n = 0. Это система n – р + к линейных однородных уравнений от n неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения. Пусть (х₁⁰, х₂⁰, …, х_n ⁰ ) – одно из них. Подставив это решение в формулы (**) и (***), вычислим все у_і и z_ј и подставим их в равенство (*). Получим –(у_к+1⁰)² – … – (у_r⁰)² = (z₁⁰)² +(z₂⁰)² + … +(z_р⁰)². Это равенство возможно тогда и только тогда, когда у_к+1⁰ = … = у_r⁰ = z₁⁰ = z₂⁰ = … = z_р⁰ = 0. Получили, что система z₁ = z₂ = … = z_р = z_р+1 = … = z_r = z_r+1 = … = z_n = 0 имеет ненулевое решение (х₁⁰, х₂⁰, …, х_n ⁰ ), что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.

9.5. Положительно определённые квадратичные формы

Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой, если для любого вектора а ¹ 0 имеет место j (а) > 0.

Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Доказательство. Þ Пусть j (а) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду

у₁² + у₂² + … + у_к² – у_к+1² – … – у_r² (*),

в котором либо r < n, либо r = n, но к < n. Пусть преобразование координат, с помощью которого форма приведена к нормальному виду, задаётся формулами у_і = (**). Определитель этих формул отличен от нуля. Если r < n, то возьмём у₁ = у₂ = … = у_n–1 = 0, у_n = 1 и подставим в (**). Получим систему n линейных неоднородных уравнений с n неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Очевидно, это решение не нулевое, поэтому определяет ненулевой вектор а. Но тогда j (а) = 0, что противоречит определению положительно определённой формы. Аналогично приходим к противоречию и в случае r = n, но к < n. Итак, если форма положительно определённая, то её нормальный вид у₁² + у₂² + … + у_n². Это и значит, что ранг и положительный индекс инерции равны n.

Ü Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.

Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.

Теорема 69. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.

Теорема 70. Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.

Доказательство. Пусть Е_n – n -мерное евклидово пространство, е = (е₁, е₂, …, е_n) – базис в нём и Г – матрица Грама, задающая скалярное произведение векторов в этом базисе. Если а = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n, в = у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n, то (а, в) = х ^Т×Г × у, где х ^Т – строка координат вектора а, у – столбец координатвектора в. Следовательно, а ² = (а, а) = х ^Т×Г × х. Если сравнить с формулой (60), то получим, что х ^Т×Г × х есть квадратичная форма с матрицей Г. В пространстве Е_n есть ортонормированный базис. В этом базисе а ² = х₁² + х₂² +…+ х_n ². Но это значит, что при переходе к ортонормированному базису квадратичная форма х ^Т×Г × х приводится к нормальному виду х₁² + х₂² +…+ х_n ². По теореме 68 получаем, что форма х ^Т×Г × х является положительно определённой.

Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?

1. 4 х₁ ² – х₁х₂ + 3 х₂ ² – х₂х₃ + 6 х₂х₄.

2. 4 х₁х₂ – х₁х₃ + 2 х₂ ² – 4 х₂х₃ + 3 х₂х₄ + 5 х₄ ².

3. 4 х₁ ² – 5 х₁х₂ + 3 х₂ ² – 2 х₂х₃ + х₃² + 4 х₂х₄ – х₄ ².

Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.

1. 4 х₁ ² – х₁х₂ + 3 х₂ ² – х₂х₃ + 6 х₂х₄ = (4 х₁² – х₁х₂ + ) – + 3 х₂ ² – х₂х₃ + 6 х₂х₄ =

= (2 х₁ – )² + (х₂ ² –

= (2 х₁ – )² + ( – =

= (2 х₁ – )² + ( – . Отсюда следует, что ранг данной формы равен 3, т.е. меньше числа переменных, поэтому эта форма не является положительно определённой (теорема 68).

2. Составим матрицу второй квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М₁ = 0. Уже отсюда следует, что форма не является положительно определённой (теорема 69).

3. Составим матрицу третьей квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М₁ = 4 > 0, М₂ = = 5,75 > 0, М ₃ = 1,25 > 0,

М₄ = ½ А ½= 14,25 > 0. Итак, все главные миноры положительны. Следовательно, третья квадратичная форма положительно определённая.