Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j (а). Пусть в Ln задан базис е = (е1, е2, …, еn) и пусть А – матрица данной формы в этом базисе. Пусть е1 = (е11, е21, …, еn1) – один из базисов, в котором j (а) имеет канонический вид, и Т матрица перехода от базиса е к базису е1. В базисе е1 форма j (а) имеет диагональную матрицу А1. По формуле (56) А1 = Т Т× А × Т. Матрицы Т и Т Т невырожденные. Умножение матрицы А на невырожденную матрицу не меняет ранга матрицы А, следовательно, rang A = rang A1, т.е. в любом базисе матрица квадратичной формы имеет один и тот же ранг.
Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве Ln называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.
Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение:
Теорема 66. Комплексная квадратичная форма любым невырожденным линейным преобразованием приводится к одному и тому же нормальному виду, состоящему из r квадратов переменных с единичными коэффициентами, т.е. j = х12 + х22 + … + хr2.
Если поле Р есть поле действительных чисел, то нормальный вид квадратичной формы будет j (а) = х12 + х22 + … + хк2 – хк+12 – … – хr2.
Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции, разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом.
Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.
Доказательство. Пусть j (а) – квадратичная форма, заданная в базисе е = (е1, е2, …, еn) линейного пространства Ln над полем R, а = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn. Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Пусть
j = у12 + у22 + … + ук2 – ук+12 – … – уr2 =
= z12 + z22 + … + zр2 – zр+12 – … – zr2. (*)
Пусть уі = 
, і = 1, 2, …, n (**), и zј = 
, ј = 1, 2, …, n (***).
Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то их определители отличны от нуля. Достаточно доказать, что к = р. Предположим, что к ¹ р. Не нарушая общности, можно считать, что к < р. Составим систему уравнений у1 = у2 = … = ук = zр+1 = … = zr = zr+1 = … = zn = 0. Это система n – р + к линейных однородных уравнений от n неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения. Пусть (х10, х20, …, хn 0 ) – одно из них. Подставив это решение в формулы (**) и (***), вычислим все уі и zј и подставим их в равенство (*). Получим –(ук+10)2 – … – (уr0)2 = (z10)2 +(z20)2 + … +(zр0)2. Это равенство возможно тогда и только тогда, когда ук+10 = … = уr0 = z10 = z20 = … = zр0 = 0. Получили, что система z1 = z2 = … = zр = zр+1 = … = zr = zr+1 = … = zn = 0 имеет ненулевое решение (х10, х20, …, хn 0 ), что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.
9.5. Положительно определённые квадратичные формы
Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой, если для любого вектора а ¹ 0 имеет место j (а) > 0.
Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.
Доказательство. Þ Пусть j (а) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду
у12 + у22 + … + ук2 – ук+12 – … – уr2 (*),
в котором либо r < n, либо r = n, но к < n. Пусть преобразование координат, с помощью которого форма приведена к нормальному виду, задаётся формулами уі = (**). Определитель этих формул отличен от нуля. Если r < n, то возьмём у1 = у2 = … = уn–1 = 0, уn = 1 и подставим в (**). Получим систему n линейных неоднородных уравнений с n неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Очевидно, это решение не нулевое, поэтому определяет ненулевой вектор а. Но тогда j (а) = 0, что противоречит определению положительно определённой формы. Аналогично приходим к противоречию и в случае r = n, но к < n. Итак, если форма положительно определённая, то её нормальный вид у12 + у22 + … + уn2. Это и значит, что ранг и положительный индекс инерции равны n.
Ü Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.
Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.
Теорема 69. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.
Теорема 70. Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.
Доказательство. Пусть Еn – n -мерное евклидово пространство, е = (е1, е2, …, еn) – базис в нём и Г – матрица Грама, задающая скалярное произведение векторов в этом базисе. Если а = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn, в = у1 е1 + у2 е2 + … + уn еn, то (а, в) = х Т×Г × у, где х Т – строка координат вектора а, у – столбец координатвектора в. Следовательно, а 2 = (а, а) = х Т×Г × х. Если сравнить с формулой (60), то получим, что х Т×Г × х есть квадратичная форма с матрицей Г. В пространстве Еn есть ортонормированный базис. В этом базисе а 2 = х12 + х22 +…+ хn 2. Но это значит, что при переходе к ортонормированному базису квадратичная форма х Т×Г × х приводится к нормальному виду х12 + х22 +…+ хn 2. По теореме 68 получаем, что форма х Т×Г × х является положительно определённой.
Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?
1. 4 х1 2 – х1х2 + 3 х2 2 – х2х3 + 6 х2х4.
2. 4 х1х2 – х1х3 + 2 х2 2 – 4 х2х3 + 3 х2х4 + 5 х4 2.
3. 4 х1 2 – 5 х1х2 + 3 х2 2 – 2 х2х3 + х32 + 4 х2х4 – х4 2.
Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.
1. 4 х1 2 – х1х2 + 3 х2 2 – х2х3 + 6 х2х4 = (4 х12 – х1х2 + 
) – + 3 х2 2 – х2х3 + 6 х2х4 =
= (2 х1 – 
)2 + 
(х2 2 
–
= (2 х1 – )2 + (
– 
=
= (2 х1 – )2 + ( – 
. Отсюда следует, что ранг данной формы равен 3, т.е. меньше числа переменных, поэтому эта форма не является положительно определённой (теорема 68).
2. Составим матрицу второй квадратичной формы и найдём главные её миноры.
А = 
, М1 = 0. Уже отсюда следует, что форма не является положительно определённой (теорема 69).
3. Составим матрицу третьей квадратичной формы и найдём главные её миноры.
А = 
, М1 = 4 > 0, М2 = 
= 5,75 > 0, М 3 = 
1,25 > 0,
М4 = ½ А ½= 14,25 > 0. Итак, все главные миноры положительны. Следовательно, третья квадратичная форма положительно определённая.
