Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Е_n – n- мерное евклидово пространство и пусть е = (е₁, е₂,..., е_n) – базис в нём. Так как в Е_n для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г называется матрицей Грама скалярного произведения для базиса е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления

скалярного произведения векторов, заданных координатами.

Пусть в базисе е заданы векторы а = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n, в = у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_{n .} Тогда (а, в) = (х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n)×(у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n) = = х ^Т×Г × у, где х ^Т – строка координат вектора а, у – столбец координатвектора в. Итак, (а, в) = х ^Т×Г × у (42).

Свойства матрицы Грама.

1⁰. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (е_к, е_s) = (е_s, е_к).

2⁰. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что е_к ¹ 0 и, следовательно, (е_к, е_к) > 0.

3⁰. Для матрицы Грама и любого n- мерногостолбца х выполняется условие х ^Т×Г × х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х ^Т×А × х > 0 для любого

ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама положительно определённая.

4⁰. Пусть е = (е₁, е₂,..., е_n) и е¹ = (е₁¹, е₂¹,..., е_n¹) –два базиса в Е_n, Г и Г¹ – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е¹ соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹. Тогда (а, в) = х ^Т×Г × у, х = Т×х¹, у = Т×у¹, х ^Т= (Т×х¹) ^Т= (х¹) ^Т× Т^Т. Следовательно, (а, в) = ((х¹) ^Т× Т^Т)× Г× (Т×у¹) = (х¹) ^Т× (Т^Т × Г× Т)× у¹. Но (а, в) = (х¹) ^Т× Г¹× у¹. Отсюда

Г¹ = Т^Т× Г× Т (43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

5⁰. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (42) следует ú Г¹ ú =ú Т^Т ú ×ú Г ú ×ú Т ú = ú Г ú ×ú Т ú ². Так как Т ú ²> 0, то ú Г¹ ú и ú Г ú имеют одинаковые знаки.

Примеры.

1. Во множестве М₂ квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е₁ = , е₂ = , е₃ = , е₄ = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е₁, е₁) = 1, (е₁, е₂) = (е₂, е₁) = 0, (е₁, е₃) = (е₃, е₁) = 0, (е₁, е₄) = (е₄, е₁) = 0, (е₂, е₂) = 1, (е₂, е₃) = (е₃, е₂) = 0, (е₂, е₄) = (е₄, е₂) = 0, (е₃, е₃) = 1, (е₃, е₄) = (е₄, е₃) = 0, (е₄, е₄) = 1. Следовательно,

Г = .

2. В пространстве R [ х ] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой , где a и b – фиксированные действительные числа, a < b. Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х², х³).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = b – a,

(1, х) = (х, 1) = = ), (1, х²) = (х², 1) = = ), (1, х³) = (х³, 1) = = ), (х, х) = = ), (х, х²) = (х², х) = = ), (х, х³) = (х³, х) = = ), (х², х²) = = ), (х², х³) = (х³, х²) = = ), (х³, х³) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:

Г = .

3. В базисе (е₁, е₂, е₃) пространства Е₃ скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4) × × = 7.

Введение метрики в евклидовом пространстве

Пусть Е_n – n- мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора самого на себя назовём скалярным квадратом этого вектора, т.е. (а, а) = а². По 4-ой аксиоме скалярного произведения а² ³ 0.

Определение 47. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора. т.е. ú а ú = (44)

Свойства длины вектора:

1. Любой вектор а имеет длину и только одну, ú а ú ³ 0.

2. ú a× а ú = úaú×ú а ú для любого а Î Е_n.

3. Для любых векторов а и в из Е_n верно неравенство ú а×в ú £ú а ú ×ú в ú.

Доказательство. (а –a в)² = а ² – 2a(а, в) + a²× в ² ³ 0 для любого a Î R. Так как квадратный трёхчлен неотрицателен при любом значении a, то его дискриминант неположителен, т.е. (а, в)² – а ²× в ² £ 0, или (а, в)² £ а ²× в ². Отсюда ú а×в ú £ú а ú ×ú в ú (45). Знак равенства в этой формуле будет тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.

Определение 48. Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.

4⁰. Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.

Если а ¹ 0, то ú а ú ¹ 0. Следовательно, существует вектор а₀ = а. Очевидно, ú а₀ ú =1.

Определение 49. Углом между ненулевыми векторами а и называется такое действительное число j, что (46).

Угол между векторами а и можно также обозначать .

Свойства углов.

1⁰. Для любых двух ненулевых векторов угол между ними определён.

Из формулы (44) следует, что Следовательно, j существует.

2⁰. Если a ¹ 0, b ¹ 0, то .

Определение 48. Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Ортогональные векторы обозначаются а ^ в.

3⁰. Если а ^ в, a ¹ 0, b ¹ 0, то (a а)^ (b в).

4⁰. Если а ^ в и а ^ с, то а ^ (в + с).

Определение 50. Множество всех векторов пространства Е_n, ортогональных вектору а, к которому добавлен нулевой вектор, называется ортогональным дополнением вектора а.

5⁰. Ортогональное дополнение к вектору а является (n – 1)-мерным евклидовым подпространством в Е_n.

Доказательство.

Из свойств 3⁰ и 4⁰ следует, что рассматриваемое множество L является линейным подпространством в Е_n. Так как в Е_n определено скалярное произведение, то оно определено и в ортогональном дополнении, следовательно, L является евклидовым подпространством. Кроме того, с Î L Û (а, с) = 0 (*). Зафиксируем в Е_n базис. Пусть а = (а₁, а₂, …, а_n), с = (х₁, х₂, …, х_n). Тогда с Î L Û а ^Т×Г×х = 0 (**). Уравнение (**) есть линейное однородное уравнение с n неизвестными. Фундаментальная система его решений состоит из (n – 1) решения. Следовательно, пространство решений уравнения (**) является (n – 1)-мерным.

Пусть Е_к – подпространство пространства Е_n. Обозначим Е множество, состоящее из нулевого вектора и всех векторов, ортогональных любому ненулевому вектору из Е_к. Иными словами с Î Е Û (с, а) = 0 для всех а Î Е_к. Пространство Е ортогональным дополнением к пространству Е_к.

6⁰. Ортогональное дополнение Е является (n – к)-мерным евклидовым подпространством в пространстве Е_n.

Доказательство аналогично доказательству свойства 5⁰.

7⁰. Е Ç Е_к = { 0 }.

8⁰. Любые два ортогональных вектора линейно независимы.

Доказательство. Пусть а ^ в. По определению эти векторы ненулевые. Предположим, что они линейно зависимы, т.е. существует такая ненулевая пара a, b действительных чисел, что a× а + b× в = 0. Если a ¹ 0, то умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор а. Получим a× а² + b× (а, в) = 0. Так как (а, в) = 0 и а² ¹ 0, то a = 0. Противоречие. Следовательно, а и в линейно независимы.

9⁰. Если а₁, а₂, …, а_к и в₁, в₂, …, в_s – две системы линейно независимых векторов и каждый вектор первой системы ортогонален любому вектору второй, то система векторов а₁, а₂, …, а_к и в₁, в₂, …, в_s линейно независима.

Теорема 42. Для любого к (1 £ к £ n) Е_n = Е Å Е_к.

Доказательство. Пусть (е₁, е₂,..., е_к) – базис в Е_к и (е_{к +1}, е _{к + 2},..., е_n) – базис в Е . Из свойства 9⁰ следует, что (е₁, е₂,..., е_к, е_{к +1}, е _{к + 2},..., е_n) будет линейно независимой. Так как в ней n векторов, то это базис в Е_n. Следовательно, Е_n = Е + Е_к. Из свойства 7⁰ следует Е_n = Е Å Е_к.

Пусть Е_n = Е Å Е_к. Если а – любой вектор из Е_n, то а = а₁ + а₂, где а₁ Î Е_к, а₂ Î Е . Вектор а₁ называется проекцией вектора а на подпространство Е_к. Вектор а₂ называется ортогональной составляющей вектора а.