Определение, примеры и свойства линейных операторов

Пусть L и L¹ – два линейных пространства над полем Р.

Определение 31. Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L¹ называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия j (а + в) = j (а) + j (в) и j (l а) = lj (а).

Элемент j (а) называется образом элемента а, элемент а называется прообразом элемента а.

Определение 31 эквивалентно определению 31¹:

Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L¹ называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любых элементов a, b Î Р выполняется условие j (a× а + b× в) = a×j (а) + b×j (в).

Примеры. 1. Отображение j (а) = 0¹, где а – любой вектор из L, а 0¹ – нулевой вектор из L¹, является, очевидно, линейным оператором. Этот оператор называют нулевым.

2. Отображение j (а) = а есть линейный оператор пространства L на себя. Этот линейный оператор называется тождественным.

3. Пусть е = (е ₁, е₂, е₃, …, е_n) – базис в пространстве L_n и L¹ = < е₁, е₂, е₃ >. Пусть j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃ + … + х_n е_n) = х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃. Заданное отображение j есть линейный оператор, действующий из пространства L в его подпространство L¹. Этот оператор называется проекцией пространства L на L¹.

Доказательство. Если а – любой вектор из L, то а = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n. Зададим отображение j следующим образом: j (а) = х₁ f₁ + х₂ f₂ + … + х_n f_n. Так как j (а)Î L¹, то j действует из L в L¹. Если l Î Р, то j (l а) = l×х₁ f₁ + l х₂ f₂ + … + l х_n f_n = l (х₁ f₁ + х₂ f₂ + … + х_n f_n) = l j (а). Если в = у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n, то j (а + в) = (х₁ + у₁) f₁ + (х₂ + у₂) f₂ + … + (х_n + у_n) f_n =(х₁ f₁ + х₂ f₂ + … + х_n f_n) + (у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n) = j (а) + j (в). Итак, j - линейный оператор из L в L¹. Кроме того j (е_к) = 1× f_к. Следовательно, j - искомый линейный оператор. Обратно, если y - любой линейный оператор, при котором y (а_к) = f_к, то по определению линейного оператора y (а) = y (х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n) = х₁y (е₁) + х₂y (е₂) + … + х_ny (е_n) = х₁ f₁ + х₂ f₂ +…+ х_n f_n = j (а). Следовательно, j - единственный искомый оператор.

Следствие. Для того чтобы задать линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L¹ достаточно выбрать базис (е ₁, е₂, …, е_n) в пространстве L и упорядоченную систему векторов (f₁, f₂, …, f_n) в пространстве L¹ и задать отображение по правилу: j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n) = х₁ f₁ + х₂ f₂ + … + х_n f_n.

Пример. Даны два линейных пространства L₃ и L₅. Пусть е = (е ₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃, f₄, f₅) – реперы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅. Пусть линейный оператор j: L ₃ ® L₅ задан по правилу j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃) = х₁ а₁ + х₂ а₂ + х₃ а₃. Найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. j (с) = 5 а₁ – а₂ + 3 а₃ = (5,20,–5,15,0) – (3,0,1,–3,7) + (3,3,6,6,0) = (5, 23, 0, 24, –7).

Свойства линейных операторов.

Пусть j: L_n ® L_m линейный оператор.

1⁰. j (0) = 0¹, где 0 и 0¹ – нули пространств L_n и L_m соответственно.

2⁰. Произведение двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть j: L_n ® L_m и y: L _m ® L_к. Тогда (y×j): L_n ® L_к. Если а и в – любые два вектора из L_n и l - любой элемент из поля Р, то (y×j)(а + в) = y (j (а + в)) = y (j (а) + j (в)) = = y (j (а)) + y (j (в)) = (y×j)(а) + (y×j)(в); (y×j)(l а) = y (j (l а)) = y (l × j (а)) = = l× (y (j (а)) = l× (y×j)(а). Итак, отображение (y×j) удовлетворяет всем требованиям определения 31. Следовательно, (y×j) – линейный оператор.

Определение 32. Суммой двух линейных операторов j: L_n ® L_m и y: L _n ® L_m называется такое отображение w: L_n ® L_m, что для любого элемента а Î L_n верно равенство w (а) = j (а) + y (а).

3⁰. Сумма двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть а, в Î L и a, b Î Р. Тогда w (a× а + b× в) = j (a× а + b× в) + y (a× а + b× в) = (a×j (а) + b×j (в)) + + (a×y (а) + b×y (в)), Следовательно, по определению 31¹, w - линейный оператор, действующий из L_n в L_m.

4⁰. Нулевой линейный оператор играет роль нулевого элемента при сложении линейных операторов.

Определение 32. Произведением линейного оператора j: L_n ® L_m и элемента l Î Р называется такое отображение из L_n в L_m, что (lj)(а) = l× (j (а)) для любого а Î L_n.

5⁰. Произведение линейного оператора на элемент поля Р есть линейный оператор.

Докажите это утверждение самостоятельно.

6⁰. 1× j = j для любого линейного оператора j.

7⁰. 0 ×j – нулевой оператор для любого линейного оператора j.

8⁰. Если j и y – два линейных оператора, a, b Î Р, j: L_n ® L_m и y: L _n ® L_m, то (a×j + b×y) – линейный оператор, действующий из L_n в L_m.

Теорема 32. Множество линейных операторов, действующих из линейного пространства L_n в L_m является линейным пространством (оба пространства над одним и тем же полем).

Доказательство следует из свойств суммы линейных операторов и произведения линейного оператора на элемент поля Р.