Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы

Теорема 26 (теорема Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Þ Пусть система (25) совместна. Следовательно, существуют такие элементы a₁, a₂, …, a_n, что

Записав эти равенства в векторной форме, получим, что в = a₁× а₁ + a₂× а₂ + … + a× а _n, где а₁, а₂, …, а_n –векторы-столбцы матрицы А, в – вектор-столбец свободных членов. Из последнего равенства следует, что системы векторов а₁, а₂, …, а_n и а₁, а₂, …, а_n, в эквивалентны, поэтому их ранги равны. Итак, rang A = rang A₁.

Ü Пусть rang A = rang A₁ = к. Не нарушая общности, можно считать, что отличный от нуля минор к -го порядка в матрице А стоит в левом верхнем углу. Векторы-столбцы обозначим а₁, а₂, …, а_к, а_к+1, …, а_n, в (*). Система а₁, а₂, …, а_к будет максимальной линейно независимой подсистемой в системе (*), следовательно, найдутся такие коэффициенты х₁⁰, х₂⁰, …, х_к⁰, что в = х₁⁰ а₁ + х₂⁰ а₂ + … + х_к⁰ а_к. Это равенство равносильно равенству в = х₁⁰ а₁ + х₂⁰ а₂ + … + х_к⁰ а_к + … + 0× а_к+1 + … + 0× а_n. Перейдя к координатам, получим:

(28)

Отсюда следует, что (х₁⁰, х₂⁰, …, х_к⁰, 0,…,0) – решение системы (25), т.е. эта система совместна.

Из теоремы Кронекера – Капелли следуют правила решения системы линейных уравнений.

Для решения системы линейных уравнений достаточно

1. Найти ранги основной и расширенной матриц (А и А₁). Если rang A ¹ rang A₁, то система не имеет решения.

2. Если rang A = rang A₁ = к, то для решения достаточно оставить к уравнений, коэффициенты которых стоят на тех строчках матрицы А, на которых стоит базисный минор, и в этих уравнениях оставить в их левых частях те неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Остальные неизвестные нужно перенести в правые части уравнений. Они могут принимать все возможные значения из поля Р. Эти неизвестные называются свободными. (Не нарушая общности, можно считать, что оставлены первые к уравнений и первые к неизвестных, система (29)).

(29)	Определитель левой части системы (29) отличен от нуля, число уравнений равно числу неизвестных, поэтому (по теореме Крамера) эта система при всевозможных хк+1, …, хn имеет единственное решение.

Следовательно, неизвестные х₁, х₂, …, х_к можно выразить через х_к+1, …, х_n. Формулы, с помощью которых х₁, х₂, …, х_к выражаются через х_к+1, …, х_n задают так называемое общее решение данной системы уравнений. При каждом конкретном наборе переменных х_к+1, …, х_n мы получим единственный набор х₁, х₂, …, х_к. Это частное решение системы уравнений. Число свободных неизвестных равно n – к. Поэтому если к = n, то свободных неизвестных нет, система (29), а поэтому и система (25), имеет единственное решение. Если же к < n, то система имеет бесконечно много решений.

Пример. Исследовать систему уравнений и решить её, если она совместна в поле R.

Решение. Составим матрицу и расширенную матрицу.

А1 =	Так как первый и второй столбцы пропорциональны, то для нахождения ранга матрицы один из них можно удалить. Будем считать, что удалён второй столбец. Минор М = ¹ 0.

Окаймим этот минор первым столбцом и третьей строкой, получим

D = = 56 ¹ 0.

Следовательно, rang A = 3. Но rang A1 не может быть больше 3. Итак, rang A = rang A1 = 3. Для решения остаются три уравнения, т.е. все уравнения. Оставим в левых частях первое, третье и четвёртое неизвестные, второе неизвестное перенесём в правые части,

получим

Для этой системы D = 56, = 84 х2,

= 20, = 24. По формулам Крамера получаем х₁ = , х₃ = , х₄ = . Общее решение данной системы (), х₂ – любое действительное число.