Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

Определение. Фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений (ФСР ОСЛУ) называется система решений, которая удовлетворяет следующим условиям:

1) является линейно независимой;

2) каждое решение данной системы линейных уравнений линейно выражается через эту систему решений.

Теорема. ФСР ОСЛУ содержит n-r решений, где n - число неизвестных, r – ранг основной матрицы системы.

Прежде чем доказать теорему, рассмотрим следующий пример.

Пример.

Найти ФСР ОСЛУ:

ФСР состоит из n-r = 5-3=2 векторов.

Пусть - главные неизвестные, - свободные неизвестные.

Общее решение системы .

По-другому: .

.

Доказательство теоремы

Рассмотрим систему линейных уравнений

(2.6)

I. Обозначим - ранг матрицы; n – число неизвестных.

Пусть первые r строк и первые r столбцов линейно независимы.

- неособенная и может быть приведена к единичной с помощью элементарных строчечных преобразований.

Однородная система линейных уравнений, соответствующая матрице С

(2.6')

равносильна исходной системе линейных уравнений.

Пусть - главные неизвестные; - свободные неизвестные.

II. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, вычислим соответствующие значения главных неизвестных.

В частности,

, ,…,

(2.7).

Покажем, что система (2.7) является фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений системы (2), а следовательно и исходной системы.

III. Покажем, что система (2.7) является линейно независимой.

Рассмотрим равенство:

(2.8)

Выполнив в левой части этого равенства операции умножения на скаляр и сложения векторов, получим:

Из этого равенства видно, что по

Равенство (2.8) выполняется при нулевом наборе скаляров, следовательно (2.7) – линейно независима.

IV. Покажем, что каждое решение ОСЛУ линейно выражается через систему (2.7).

Пусть - какое-либо решение системы (2.6). Тогда

=

= = из системы (2.6') получаем =

=

,

Так как получили, что любое решение системы линейных уравнений линейно выражается через систему (2.7), доказательство теоремы завершено.

 

Упражнения

11. Решить системы уравнений методом Гаусса

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

12. Исследовать методом Гаусса системы с параметром

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

13. При каких значениях параметра m система имеет единственное решение?

14. Найти общее решение и ФСР ОСЛУ

a) ;

b) ;

c) .

15. Подобрать параметр так, чтобы система уравнений имела решение

a) ;

b) ;

c) .

16. Дана конечная система векторов:

Найти

a) ;

b) ;

c) .

17. Дана система векторов: , , Найти:

a) ;

b) ;

c) .

18. Является ли линейно зависимой следующая система векторов?

a) , , ;

b) , ;

c) , , , .

19. Показать, что данная система векторов является линейно независимой:

a) , , ;

b) , , ;

c) , , .

20. Выяснить, является ли следующая система векторов линейно зависимой. Найти ее базис и ранг.

a) , , , , ;

b) ;

c) , , , .

21. Доказать, что если можно единственным образом выразить как линейную комбинацию , то - линейно независимая система.

22. Найти ранги матриц:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Глава 3. Алгебра матриц

 

Прямоугольные матрицы встречаются настолько часто, что с течением времени возник самостоятельный раздел математики – теория матриц. Ее становление относят к середине прошлого века, но полноту и изящество она приобрела позднее, вместе с развитием линейной алгебры. До сих пор теория матриц остается важным инструментом исследования, хорошо приспособленным и к запросам математики. Здесь будут изложены простейшие результаты теории матриц, с более подробным изложением теории матриц можно познакомиться в книге [7].

 

Операции над матрицами

 

Операция сложения (“+”).

, где каждый из элементов матрицы равен сумме соответствующих элементов слагаемых, то есть:

.

Например:

.

Свойства операции сложения матриц:

1.

2.

3.

Операция умножения на скаляр (“ ”)

.

Например:

.

Свойства операции умножения матрицы на скаляр:

4.

5.

6.

7.

Операция умножения матриц

, где .

Например:

.

Свойства операции умножения матриц:

8. , если , то матрицы A и B называются перестановочными.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Докажем какое-нибудь из свойств операций над матрицами, например, ассоциативность их умножения: .

Доказательство.

Требуется установить, что для произвольных матриц A, B, и C подходящего размера выполнено . Имеем

,

т.е. правая и левая части равенства, во всяком случае, являются матрицами одного размера. Сравним их соответствующие элементы:

Свойство 9 доказано.

Обратная матрица

 

Определение. Матрицу B будем называть обратной к квадратной матрице A, если , где E= - единичная матрица. Обозначение: .

Свойства обратной матрицы:

1.

2.

3.

Определение. Матрицу, полученную из единичной при помощи одного элементарного строчечного или столбцового преобразования первых трех типов, будем называть элементарной матрицей.

Непосредственным подсчетом можно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема. Элементарные преобразования первых трех типов данной матрицы дают тот же результат, что и умножение на элементарную матрицу, полученную с помощью строчечных или столбцовых преобразований.

Как следствие, получаем важный результат:

Теорема. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она является неособенной.

Доказательство

А – неособенная Û r(A)=n Û можно элементарными преобразованиями строк привести матрицу А к единичной Û существуют элементарные матрицы Э₁, Э₂,…, Э_s такие, что

. Теорема доказана.

Данная теорема дает нам способ вычисления обратной матрицы: приписываем справа (через черту) к матрице A единичную и с помощью элементарных преобразований строк приводим матрицу A к единичной. Тогда справа от черты стоит матрица A^-1:

Пример.

Þ B^-1=