Рассмотрим ступенчатую систему (2.3). Возможны следующие случаи:
1) Если найдется 
, где 
, то система (2.3) несовместна.
2) Если 
, , то система (2.3) совместна, 
- главные неизвестные; остальные неизвестные – свободные.
3) Если в системе (2.3) содержится хотя бы одна свободная неизвестная, то система является неопределенной.
4) Если система (2.3) не содержит свободных неизвестных, то данная система является определенной.
2.4. Арифметическое n -мерное векторное пространство.
Определение и свойства
В связи с системами линейных уравнений нам приходилось рассматривать строки длины n, в которые вкладывался разный смысл. Приведение системы или матрицы к ступенчатому виду включало, помимо элементарного преобразования типа (I) два важных акта: умножение строки на число и сложение двух строк. Те же действия можно производить и с решениями однородной линейной системы. С другой стороны, любая строка, что бы она ни выражала, является элементом «универсального» множества Rn - n-й декартовой степени множества R действительных чисел. Поэтому желательно изучить общий объект, свойства которого автоматически переносились бы на матрицы и на решения однородных систем.
Определение. Упорядоченную совокупность, состоящую из n чисел 
будем называть n-мерным вектором.
- вектор-строка, 
вектор-столбец.
- координаты вектора 
.
Рассмотрим вектор 
.
Определение. Два вектора называются равными: 
, если равны их соответствующие координаты, т.е.
.
Введем операции:
1. Сложение векторов:
2. Умножение вектора на скаляр:
Определение. Множество всех n-мерных векторов с введенными операциями сложения и умножения на скаляр будем называть арифметическим n-мерным векторным пространством 
.
Свойства операций.
Сложение
10 
- коммутативность
20 
- ассоциативность
30 
- обратимость
10 - 30 - коммутативная группа (или Абелева группа)
Умножение
40 
60 и 70 - дистрибутивные законы
Все 7 свойств дают понятие векторного (линейного) пространства
Линейная зависимость и линейная независимость
Конечной системы векторов
Рассмотрим конечную систему векторов 
.
Определение. Вектор 
будем называть линейной комбинацией конечной системы векторов S, если существует такой набор скаляров 
, что 
. По-другому: вектор линейно выражается через вектора системы S.
Определение. Множество всех комбинаций конечной системы векторов S будем называть линейной оболочкой конечной системы векторов:
В линейной оболочке операции сложения и умножения на скаляр – замкнуты:
1) 
2) 
Определение. Конечную систему векторов будем называть линейно зависимой, если найдется такой ненулевой набор скаляров (т.е. хотя бы один скаляр отличен от нуля) 
, что выполняется равенство 
(*).
В противном случае, т.е. если равенство (*) выполняется только лишь при нулевом наборе скаляров, систему векторов будем называть линейно независимой.
Свойства
1. Всякая конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.
Доказательство.
Пусть 
. Докажем, что 
при ненулевом наборе скаляров 
. Пусть, например, 
, 
. Тогда
Нашелся такой ненулевой набор скаляров, что выполняется равенство (*). Свойство доказано.
2. Если подсистема конечной системы векторов линейно зависима, то сама система линейно зависима.
Доказательство.
Пусть 
, 
- линейно зависима. По определению, 
. Тогда
Нашелся ненулевой набор скаляров 
, следовательно, сама система S – линейно зависима.
3. Любая подсистема данной системы является линейно независимой, если сама система линейно независима.
Доказательство.
Проведем его методом от противного. Предположим, что 
-линейно зависима, тогда по 2 свойству S тоже линейно зависима. А это противоречит условию, значит наше предположение неверно и -линейно независима.
4. S – линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор системы S, который линейно выражается через остальные векторы этой системы: 
.
Доказательство.
Пусть S – линейно зависима, т.е. 
, что выполняется равенство 
Не ограничивая общности, будем считать, что 
. Тогда
- линейная комбинация остальных векторов.
Наоборот, пусть 
является линейной комбинацией остальных векторов: 
. Тогда 
- нашелся искомый ненулевой набор скаляров, т.е. система S является линейно зависимой.
5. S – линейно независима тогда и только тогда, когда
6. Любая конечная система векторов, содержащая число векторов больше чем n, является линейно зависимой.
Доказательство.
Составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем к 
.
Распишем по координатам:
k>n (число неизвестных больше числа уравнений), поэтому 
что выполняется равенство , т.е. система S является линейно зависимой.
