, :
1. ê z ê³ 0
2. z ÎR Þ ê z ê
3. ï z1z2 ï=ï z1 ï×ï z2 ï
4.
5. ï zn ï=ï z ï n
6. ï z1 ï-ï z2 ï ï z1+z2 ï ï z1 ï+ï z2 ï
, , z1, z2, z1+z2.
1.11.
. n- , n- : , Wn=z.
, :
rn (cos (ny)+ i×sin (ny))= r (cosj+i×sinj)
, 2p, .. rn=r, ny=j+2pk,
k . , :
(*) |
.. , .
(*) k ; n, :
k =0, 1, 2,..., (n-1) | (**) |
, , (*) k=k1 k=k2 , 2p, , 2p. (k1-k2) (**) n, 2p, .. n k (**) n .
k2 ( ), (**). :
k2=qn+k1
q - k1 (**),
.. k2 , k1, (**).
, n- n .
, , .. r =0. .
1.12.
. ex :
, .. :
, :
, cosy siny , :
eyi = cosy + i × siny | (1) |
. y (- y):
|
|
e - yi = cosy - i × siny | (2) |
(1) (2) cosy siny, , :
, | (3) |
(1) , r j:
r (cosj+ i ×sinj)= re j i
x+yi :
ex+yi = exeyi = ex (cosy + i × siny) | (4) |
.. ex+yi ex, y.
. z = x+yi w = s+ti.
ezew=ex (cosy+i×siny) ×es (cost+i×sint) =ex+s [ cos (y+t) +i×sin (y+t)]
, , (4), :
e ( x+s )+( y+t )× i = ez+w
:
. n :
(ez) n = ez×ez×...×ez=enz
. .
.
, .
1.13. +bi
. , a+bi,
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) I | (1) |
(+bi)(+di)=(-bd)+(ad+b) | (2) |
(1), . , (2) . , +bi , (1), (2) - . ? , . , (a+bi)(c+di)= ac2+bdi, , , b =0, d =0 = 2.
, :
1) , (=+0i), z=b+ci , , .
(+0i)(b+ci)= ab+aci
(b+ci)(a+0i)= ab+aci.
, , :
(+0i)(b+0i)= ab+0i.
( (1) (a+0i)+(b+0i)=(a+b)+ 0i), , .
2)
(azl)(bz2)=(ab)(z1 z2),
b - . , (2i)(3i)= 6i2.
3) , , :
zl (z2+z3)= zlz2+zlz3
(zl+z2) z3 = zlz3+z2z3.
, , . ,
(+bi)(+di)= (+di)+(bi)(+di)= +adi+bci+bdi2.
, , , i2. i 2 =-1, . . , ii , . . +qi. q, :
|
|
(a+bi)(c+di)=(ac+bdp)+(ad+bc+bdq) i. | (3) |
, , . , (3), , +bi (1) (3), q ( , , ).
(3), , :
z1z2=z2z1
, , , , ! ((z1z2) z3 = z1 (z2z3)), .
[(a+bi)(c+di)](e+fi)=[(+bdp)+(ad+bc+bdp) i ](+fi)=((ac+bdp) e +(ad+
+bc+bdp) fp)+((+bdp) f +(ad+bc+bdq) e +(ad+bc+bdq) fq) i,
(a+bi)[(c+di)(e+fi)]=(a+bi)[(ce+dfp)+(cf+de+dfq) i ]=(a (ce+dfp)+ b (cf+
+de+dfq) p)+(a (cf+de+dfq)+ b (ce+dfp)+ b (cf+de+dfq) q) i.
, .
. , , (3) q. . , :
I) a+bi, i2 =-1. ( );
II) a+bi, i2 =1 ( );
III) +bi, i2 =0 ( ).
, .
i2=p+qi i2-qi= :
(i-q/2)2= p+q4/4 | (4) |
:
1) p+q2/4 , .. p+q2/4=-k2, k . (i-q/2) 2=-k2, ..
(- q/2k+ (1/k) i)2=-1 | (5) |
, , j, j2 =-1
i =q/2+kj, a+bi :
a+bi = a+b (q/2+kj)=(a +(b/2) q)+ bkj;
, a+bi a'+b'j, j2 =-1. , .
2) p+q2/4 , , . p+q2/4=k2 (k¹0).
(5)
, , , E 2=1.
, +bi '+b', 2=1.
('+b')('+d'E)=(a'c'+b'd')+('d'+b'')
, p+q2/4 > 0 .
3) p+q2/4=0. , W i-q/2, W2=0.
+bi
( +(b/2)q)+ b W, , . a1+b1 W. 3 :
(a1+b1 W)(c1+d1 W)= a1c1 +(a1d1+b1c1)W
.
, a+bi (1) (3) :
1) a+bj, j2 =-1
2) a+bE, E2 =1
3) a+b W, W2=0.
( )
z=a+bi+cj,
, b, , i j - . +bi+j . , k
q=a+bi+cj+dk, | (6) |
. ( ). (6)
|
|
(+bi+j+dk)+('+b'i+'j+d'k)=(a+')+(b+b') i +(c+c') j +(d+d') k
. , , i, j, k. , ,
i2= -1, j2 =-1, k2 =-1 | (7) |
ij=k, ji=-k, jk=i, kj=-i, ki=j, |
[6].
1. :
a) i66; i143; i216; i137.
b) i43+i48+i44+i45.
c) (i36+i17) i23.
d) (i133+i115+i200+i142)(i17+i36).
e) i145+i147+i264+i345+i117.
f) (i13+i14+i15) i32.
g) (i64+i17+i13+i82)(i72-i34).
2. x y :
a) 7x+5i=1-10iy.
b) (2x+y)- i=5 +(y-x) i.
c) x +(3x-y) i = 2-i.
d) (1+2i) x +(3-5i) y=1-3i.
e) (2-i) x +(1+i) y=5-i.
f) (3i-1) x +(2-3i) y = 2-3i.
3. :
a) (3+5i)+(7-2i).
b) (6+2i)+(5+3i).
c) (-2+3i)-(7-2i).
d) (5-4i)+(6+2i).
e) (3-2i)-(5+i).
f) (4+2i)-(-3+2i).
g) (-5+2i)+(5+2i).
h) (-3-5i)+(7-2i).
4. :
a) (2+3i)(5-7i).
b) (6+4i)(5+2i).
c) (3-2i)(7-i).
d) (-2+3i)(3+5i).
e) (1i)(1+i).
f) (3+2i)(1+i).
g) (6+4i) 3i.
h) (2-3i)(-5i).
5. :
a) (3+5 i)2.
b) (2-7 i)2.
c) (3+2 i)3.
d) (3-2 i)3.
e) (3+2i)(3- 2i).
f) (5+i)(5-i).
g) (a+bi)(a-bi).
6. :
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) .
7. :
a) x24x+13=0;
b) x2+3x+4=0;
c) 2,5x2+x+1=0;
d) 4x220x+26 = 0.
8. , :
a) | z-i |<3;
b) ;
c) Rez <1;
d) .
9. :
a) ;
b) ;
c) ;
d) z=5;
e) z=-10;
f) z=6i.
10. :
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) :
i) .