Обобщая сформулированные выше результаты, получаем следующие свойства модуля:
1. ê z ê³ 0
2. z ÎR Þ ê z êсовпадает с абсолютной величиной действительного числа
3. ï z1z2 ï=ï z1 ï×ï z2 ï
4. 
5. ï zn ï=ï z ï n
6. ï z1 ï-ï z2 ï 
ï z1+z2 ï ï z1 ï+ï z2 ï
Последнее свойство справедливо, поскольку служит арифметическим выражением неравенства треугольника, записанного для векторов z1, z2, z1+z2.
1.11. Извлечение корня из комплексного числа
Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу: 
, Wn=z.
Таким образом, равенство:
равносильно равенству
rn (cos (ny)+ i×sin (ny))= r (cosj+i×sinj)
Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е. rn=r, ny=j+2pk,
откуда
где 
есть арифметическое значение корня и k – любое целое число. Таким образом, получаем:
| (*) |
т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.
В формуле (*) число k может принимать всевозможные целые значения; однако различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:
| k =0, 1, 2,..., (n-1) | (**) |
Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (*) будут различными при двух различных значениях k=k1 и k=k2 тогда, когда аргументы 
и 
отличаются не кратным 2p, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2p. Но разность (k1-k2) двух чисел из ряда (**) по абсолютному значению меньше n, а потому разность 
не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (**) соответствуют n различных значений корня.
Пусть теперь k2 – целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (**). Мы можем представить его в виде:
k2=qn+k1
где q - целое число и k1 – любое число из ряда (**), а потому
т.е. значению k2 соответствует то же значение корня, что и значению k1, заключающемуся в ряде (**).
Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r =0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.
1.12. Показательная форма комплексного числа
Обобщим понятие о показательной функции на случай любого комплексного показателя. При вещественном показателе функция ex может быть представлена в виде ряда:
Определим аналогичным рядом показательную функцию и в случае чисто мнимого показателя, т.е. положим:
Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда:
откуда, вспомнив разложения cosy и siny в ряд, определяем:
| eyi = cosy + i × siny | (1) |
Эта формула и определяет показательную функцию при чисто мнимом показателе. Заменяя y на (- y):
| e - yi = cosy - i × siny | (2) |
и решая уравнения (1) и (2) относительно cosy и siny, получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем:
 , 
| (3) |
Формула (1) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент j:
r (cosj+ i ×sinj)= re j i
Показательную функцию при любом комплексном показателе x+yi определяем формулой:
| ex+yi = exeyi = ex (cosy + i × siny) | (4) |
т.е. модуль числа ex+yi будем считать равным ex, а аргумент равным y.
Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей при умножении. Пусть z = x+yi и w = s+ti. Тогда
ezew=ex (cosy+i×siny) ×es (cost+i×sint) =ex+s [ cos (y+t) +i×sin (y+t)]
Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (4), представляет собою:
e ( x+s )+( y+t )× i = ez+w
Правило вычитания показателей при делении:
может быть непосредственно проверено путем умножения частного на делитель. В случае натурального n будем иметь:
(ez) n = ez×ez×...×ez=enz
Пример. Записать число 
в показательной форме.
Решение. Здесь 
Следовательно, показательная форма числа имеет вид 
.
1.13. Другие арифметики для чисел а+bi
Постановка задачи. Итак, мы построили числовую систему из выражений вида a+bi, определив сложение и умножение таких выражений по формулам
| (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) I | (1) |
| (а+bi)(с+di)=(ас-bd)+(ad+bс) | (2) |
Что касается формулы (1), то она представляется вполне естественно. Напротив, вид формулы (2) не вызывает такого ощущения. Посмотрим, нельзя ли из тех же выражений а+bi получить достаточно разумную числовую систему, сохранив правило сложения (1), но заменив (2) каким-либо новым законом умножения. Как мог бы выглядеть этот новый закон? В значительной мере это зависит от того, какими свойствами мы хотим наделить новое умножение. Скажем, было бы нелепо ввести его формулой (a+bi)(c+di)= ac2+bdi, ибо тогда, например, при b =0, d =0 мы получили бы довольно странное равенство ас = ас2.
Укажем те требования, которые мы собираемся предъявить к новому умножению:
1) Умножение действительного числа а, рассматриваемого как элемент новой числовой системы (а=а+0i), на произвольное число z=b+ci должно давать тот же результат, что и в случае комплексных чисел, т. е
(а+0i)(b+ci)= ab+aci
и
(b+ci)(a+0i)= ab+aci.
В частности, это означает, что для действительных чисел новое умножение должно совпадать с обычным:
(а+0i)(b+0i)= ab+0i.
Поскольку то же самое верно и в отношении сложения (из (1) следует (a+0i)+(b+0i)=(a+b)+ 0i), то, тем самым действительные числа включаются в новую числовую систему с их естественной арифметикой.
2) Должно выполняться равенство
(azl)(bz2)=(ab)(z1 z2),
где а и b - любые действительные числа. Например, (2i)(3i)= 6i2.
3) Как для первого сомножителя, так и для второго должно выполняться свойство распределительности, связывающее умножение со сложением:
zl (z2+z3)= zlz2+zlz3
и
(zl+z2) z3 = zlz3+z2z3.
Конечно, эти требования еще не позволяют написать до конца новый закон умножения, но все же из них следует многое. А именно,
(а+bi)(с+di)= а (с+di)+(bi)(с+di)= ас+adi+bci+bdi2.
Теперь, чтобы написать результат, остается только указать, чему равно i2. Приняв i 2 =-1, приходим к умножению комплексных чисел. Но это — отнюдь не единственная возможность. В принципе ведь нужно лишь, чтобы произведение ii принадлежало рассматриваемой нами системе чисел, т. е. было числом вида р+qi. Задав р и q, мы окончательно устанавливаем вид закона умножения:
| (a+bi)(c+di)=(ac+bdp)+(ad+bc+bdq) i. | (3) |
Предмет нашего изучения, таким образом, определился. Теперь можно забыть о «наводящих» соображениях, которые привели нас к формуле (3), и просто сказать, что рассматривается система чисел вида а+bi с законом сложения (1) и законом умножения (3), где р и q — два фиксированных действительных числа (определяющих собой, так сказать, «арифметику» данной системы чисел).
Внимательно рассмотрев формулу (3), мы довольно легко убеждаемся, что новое умножение обладает переместительным свойством:
z1z2=z2z1
— довольно неожиданный результат, если учесть, что среди требований, предъявленных к умножению, такого свойства не было! Выполняется и сочетательное свойство ((z1z2) z3 = z1 (z2z3)), хотя проверка этого факта требует несколько большего терпения. Имеем
[(a+bi)(c+di)](e+fi)=[(ас+bdp)+(ad+bc+bdp) i ](е+fi)=((ac+bdp) e +(ad+
+bc+bdp) fp)+((ас+bdp) f +(ad+bc+bdq) e +(ad+bc+bdq) fq) i,
(a+bi)[(c+di)(e+fi)]=(a+bi)[(ce+dfp)+(cf+de+dfq) i ]=(a (ce+dfp)+ b (cf+
+de+dfq) p)+(a (cf+de+dfq)+ b (ce+dfp)+ b (cf+de+dfq) q) i.
сравнивая результаты обоих вычислений, легко убедиться в их тождественности.
Сведение к трем системам. Может показаться, что мы нашли бесчисленное множество числовых систем, поскольку в формулу (3) входят два произвольных действительных числа р и q. Но это не совсем так. Сейчас мы увидим, что любая система сводится к одной из трех:
I) числа a+bi, где i2 =-1. (комплексные числа);
II) числа a+bi, где i2 =1 (так называемые двойные числа);
III) числа а+bi, где i2 =0 (так называемые дуальные числа).
Сведение любого, случая к одному из этих трех осуществляется следующим образом.
Из равенства i2=p+qi вытекает i2-qi=р или:
| (i-q/2)2= p+q4/4 | (4) |
Возможны три случая:
1) p+q2/4 – отрицательное число, т.е. p+q2/4=-k2, где k – некоторое отличное от нуля действительное число. Тогда (i-q/2) 2=-k2, т.е.
| (- q/2k+ (1/k) i)2=-1 | (5) |
Обозначив число, стоящее в скобках, через j, будем иметь j2 =-1
При этом i =q/2+kj, так что любое число a+bi может быть записано в виде:
a+bi = a+b (q/2+kj)=(a +(b/2) q)+ bkj;
иначе говоря, число a+bi допускает представление в виде a'+b'j, где j2 =-1. Это означает, что фактически мы имеем дело с комплексными числами.
2) p+q2/4 —положительное число, т, е. p+q2/4=k2 (k¹0).
Тогда вместо (5) получим
Обозначив на этот раз число, стоящее в скобках, через Е, будем иметь E 2=1.
Таким образом, любое число а+bi нашей системы допускает представление в виде а'+b'Е, но теперь Е 2=1. Закон умножения таких чисел будет
(а'+b'Е)(с'+d'E)=(a'c'+b'd')+(а'd'+b'с') Е
Итак, при p+q2/4 > 0 получаем систему двойных чисел.
3) p+q2/4=0. В этом случае, обозначив через W число i-q/2,будем иметь W2=0.
Любое число а+bi нашей системы может быть переписано в виде
(а +(b/2)q)+ b W, т, е. в виде a1+b1 W. 3акон умножения выглядит так:
(a1+b1 W)(c1+d1 W)= a1c1 +(a1d1+b1c1)W
Это система дуальных чисел.
В итоге получаем, что любая система чисел a+bi с правилами действий (1) и (3) есть одна из трех:
1) комплексные числа a+bj, j2 =-1
2) двойные числа a+bE, E2 =1
3) дуальные числа a+b W, W2=0.
Опыт построения системы комплексных (а также двойных и дуальных) чисел наводит на мысль пойти дальше и рассмотреть числа вида
z=a+bi+cj,
где а, b, с — произвольные действительные числа, а i и j - некоторые символы. Но из чисел вида а+bi+сj построить систему с делением невозможно. Однако оказывается, что если присоединить еще один символ k и рассмотреть числа вида
| q=a+bi+cj+dk, | (6) |
то можно получить систему с делением. Наиболее интересным примером такой системы являются кватернионы («четверные» числа). Так называются числа вида (6) с законом сложения
(а+bi+сj+dk)+(а'+b'i+с'j+d'k)=(a+а')+(b+b') i +(c+c') j +(d+d') k
и весьма своеобразным законом умножения. Чтобы описать этот закон, достаточно указать, чему равны всевозможные парные произведения чисел i, j, k. Положим, по определению,
| i2= -1, j2 =-1, k2 =-1 | (7) |
| ij=k, ji=-k, jk=i, kj=-i, ki=j, |
Более подробно о кватернионах и других гиперкомплексных числах можно прочитать в книге [6].
Упражнения
1. Вычислите:
a) i66; i143; i216; i137.
b) i43+i48+i44+i45.
c) (i36+i17) i23.
d) (i133+i115+i200+i142)(i17+i36).
e) i145+i147+i264+i345+i117.
f) (i13+i14+i15) i32.
g) (i64+i17+i13+i82)(i72-i34).
2. Найдите действительные значения x и y из равенств:
a) 7x+5i=1-10iy.
b) (2x+y)- i=5 +(y-x) i.
c) x +(3x-y) i = 2-i.
d) (1+2i) x +(3-5i) y=1-3i.
e) (2-i) x +(1+i) y=5-i.
f) (3i-1) x +(2-3i) y = 2-3i.
3. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
a) (3+5i)+(7-2i).
b) (6+2i)+(5+3i).
c) (-2+3i)-(7-2i).
d) (5-4i)+(6+2i).
e) (3-2i)-(5+i).
f) (4+2i)-(-3+2i).
g) (-5+2i)+(5+2i).
h) (-3-5i)+(7-2i).
4. Произведите умножение комплексных чисел:
a) (2+3i)(5-7i).
b) (6+4i)(5+2i).
c) (3-2i)(7-i).
d) (-2+3i)(3+5i).
e) (1–i)(1+i).
f) (3+2i)(1+i).
g) (6+4i)· 3i.
h) (2-3i)(-5i).
5. Выполните действия:
a) (3+5 i)2.
b) (2-7 i)2.
c) (3+2 i)3.
d) (3-2 i)3.
e) (3+2i)(3- 2i).
f) (5+i)(5-i).
g) (a+bi)(a-bi).
6. Выполните действия:
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
;
e) 
;
f) 
;
g) 
.
7. Решите уравнения:
a) x2–4x+13=0;
b) x2+3x+4=0;
c) 2,5x2+x+1=0;
d) 4x2–20x+26 = 0.
8. Изобразите на комплексной плоскости области, удовлетворяющие следующим неравенствам:
a) | z-i |<3;
b) 
;
c) Rez <1;
d) 
.
9. Запишите в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) z=5;
e) z=-10;
f) z=6i.
10. Вычислите:
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
;
e) 
;
f) 
;
g) 
;
h) 
:
i) 
.
