Определение. Совокупность, состоящая из точки О, оси ОР и единичного направленного отрезка ОЕ, образует систему координат на плоскости, которую будем называть полярной системой координат.
Точку О называют полюсом, ОР – полярной осью, r – полярным радиусом точки M, j - угол между векторами OM и OP - полярным углом точки M (Рис. 3).
Рис. 3
0 
< ¥
0 
j <2p
Определение. Модулем комплексного числа будем называть неотрицательное действительное число ÷ z ê=ê a+bi ê = 
= 
.
Рассмотрим треугольник AOZ (Рис. 4). Из теоремы Пифагора очевидно, что полярный радиус точки Z совпадает с модулем соответствующего комплексного числа: r= | z |= .
Рис. 4
Определение. Координатную плоскость, служащую для изображения комплексного числа, будем называть комплексной плоскостью.
Определение. Аргументом комплексного числа называется угол j, который образует вектор OZ с положительным направлением оси абсцисс (т.е. полярный угол точки Z): j=argz.
Справедливы следующие соотношения:
,
,
,
,
Если в запись комплексного числа z вместо a и b подставить указанные выше значения, то получим
z=a+bi=r×cosj+i×r×sinj=r (cosj+i×sinj).
Таким образом, мы получили новую форму записи комплексного числа:
z=r (cosj+i×sinj),
которая называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример.
I. Записать в тригонометрической форме комплексное число z=1+i.
Решение.
1) Так как a =1, b =1, то 
2) Изобразим число z геометрически (Рис. 5). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая в I четверти, и вектор z.
3) Составим соотношения 
и 
, т.е.
, 
Рис. 5
Этим соотношениям соответствует в I четверти угол 45°.
4) Так как 
,
то тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид
.
II.Записать число 
в тригонометрической форме.
Решение.
1) Здесь a =-2, 
.
Следовательно, 
.
2) Изобразим число z геометрически (Рис. 6). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая во II четверти, и вектор z.
3) Находим
, 
Этим соотношениям соответствует угол j =180°-60°=120°.
4) Запишем заданное число в тригонометрической форме:
Рис. 6
III. Записать в тригонометрической форме чисто мнимое число z=-3i.
Решение.
1) Запишем данное число в виде z=0-3i. Значит, a=0, b=-3, откуда
2) Точка, соответствующая геометрически числу z=-3i, лежит на мнимой оси (Рис. 7).
3) Аргумент этого числа равен 
, так как угол отсчитывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.
4) Запишем данное число в тригонометрической форме:
Рис. 7
Действия над комплексными числами
