Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

= R ⇒ pV = RT.

В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализиро-ванной моделью идеального газа, согласно которой:

1) собственный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению

с объемом сосуда, в котором находятся молекулы;

Рис. 9.1.1

2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда являются абсолютно упругими;

4) время столкновения молекул друг с другом пренебрежимо мало по сравнению со временем свободного пробега молекул.

Рассмотрим экспериментальные законы, описывающие поведе-ние идеального газа:

_p 1) закон Бойля-Мариотта: для данной

массы газа при постоянной температуре про-

изведение давления газа на его объем есть ве-

личина постоянная:

pV = const. (9.1.1)

_V Процесс, протекающий при постоянной тем-пературе, называется изотермическим. Кри-вая, изображающая зависимость между пара-

метрами p и V, характеризующими состояние газа при постоянной температуре называется изотермой (рис. 9.1.1).

2) закон Гей − Люссака: объем данной _V

массы газа при постоянном давлении изменя-ется линейно с температурой.

V = V ₀(1 +α t)или	^V = const, (9.1.2)
	T
где V ₀ − объем при 0°С; t − температура по		T
шкале Цельсия; α − коэффициент, равный α =	Рис. 9.1.2

= _273,15¹ К⁻¹.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарическим. На диаграмме в координатах V, Т этот процесс изо-бражается прямой линией, называемой изобарой (рис. 9.1.2).

3) закон Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой.

p = p ₀(1 +α t)	или	p	= const,	(9.1.3)
T

где p ₀ − давление при 0°С; t − температура по шкале Цельсия;
	−1
α − коэффициент, равный α =		К.
273,15

Процесс, протекающий при постоянном	p
давлении, называется изохорическим. На диа-
грамме в координатах p, Т этом процессе изо-
бражается прямой линией, называемой изохо-
рой (рис. 9.1.3).
4) закон Авогадро: моли любых газов
при одинаковых температуре и давлении за-		T
нимают одинаковые объемы. При нормаль-	Рис. 9.1.3

ных условиях этот объем равен 22,41 · 10⁻³

м³/моль. В одном моле различных веществ содержится одно и тоже число молекул, равное постоянной Авогадро: N _A = 6,02 · 10²³ моль⁻¹.

5) закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сум-

ме парциальных давлений входящих в нее газов
p = p ₁+ p ₂+ … + p_n.	(9.1.4)

Парциальное давление −давление,которое оказывал бы газ,входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.

Состояние некоторой массы газа определяется тремя термоди-намическими параметрами: давлением, объемом и температурой, ме-жду которыми существует связь, называемая уравнением состояния f (p, V, T) = 0,где каждая из переменных является функцией двух дру-гих. Французский физик и инженер Клапейрон, объединив законы Бойля-Мариотта, Шарля и Гей − Люссака, вывел уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона):для данной массы газа вели-

чина pV / T остается постоянной, т. е.

pV	= const.	(9.1.5)
T

Менделеев Д. И. объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение Клапейрона к одному молю газа и ис-пользовав молярный объем V_m. Согласно закону Авогадро, при одина-ковых давлении и температуре, моли всех газов занимают одинаковый молярный объем, поэтому газовая постоянная будет одинаковой для всех газов. Эту общую для всех газов постоянную обозначили R = = 8,31 Дж/(кг · К) и назвали универсальной газовой постоянной. Таким образом, уравнение Клапейрона приобрело вид

Выражение (9.1.6) называют уравнением состояния идеального газа или уравнение Менделеева − Клапейрона.

От уравнения состояния идеального газа можно перейти к урав-

нению для произвольной массы газа. Молярный объем равен
V_m = V /ν,	(9.1.7)

где ν = _M^m − количество вещества; m − масса газа; М − молярная мас-

са газа.

Молярной массой называется масса1моля вещества,и она равна

Пользуются также другой формой уравнения состояния идеаль-ного газа, вводя постоянную Больцмана k = R / N _A = 1,38 · 10⁻²³ Дж/К:

		pV =ν RT ⇒ pV =ν N _A kT ⇒ pV = NkT	⇒
			⇒ p =	N	kT ⇒ p = nkT,	(9.1.10)

				V
где n = N / V − концентрации молекул газа.
			Теперь рассмотрим идеальный газ и оп-
		S	ределим давление газа на основе молекулярно-
	r	кинетической теории. Представим себе, что
	m υ _x		молекулы содержатся в прямоугольном сосуде,
			грани которого имеют площадь S, а длина его
			ребер равна l. Согласно этой модели, давление
			газа на стенки сосуда обусловлено столкнове-
			ниями молекул с ними. Рассмотрим стенку
	l	x	площадью S с левой стороны сосуда и выясним,
		что происходит, когда одна молекула ударяется
	Рис. 9.1.4		об нее. Эта молекула действует на стенку, а

стенка в свою очередь действует на молекулу с равной по величине и противоположной по направлению силой. Величина этой силы, со-гласно второму закону Ньютона, равна скорости изменения импульса молекулы, т. е.

F = ^dp	=	p _.	(9.1.11)
dt		t

Так как столкновение является абсолютно упругим, то изменяется лишь составляющая импульса молекулы по оси Ox, т. е. от − m ₀υ _x до + m ₀υ _x. Таким образом, изменение импульса для одного столкновения равно

p = m ₀υ _x −(− m ₀υ _x) = 2 m ₀υ _x.

(9.1.12)

Эта молекула будет много раз сталкиваться со стенкой, причем столк-новения будут происходить через промежуток времени, который тре-буется молекуле для того, чтобы пересечь сосуд и вернуться обратно,

т. е. пройти расстояние 2 l. Тогда 2 l = υ _x		t,откуда
		t = 2 l /υ _x.			(9.1.13)
При этом средняя сила равна
	p		2 m υ	x				m υ²
F =		=				=	0 x _.	(9.1.14)
t	2 l	^υ x
				l

Во время движения по сосуду туда и обратно молекула может сталкиваться с верхними и боковыми стенками сосуда, однако про-екция ее импульса на ось Ox при этом остается без изменения (т. к. удар абсолютно упругий). Чтобы вычислить силу, действующую со стороны всех молекул в сосуде, просуммируем вклады каждой из них.

F =	m ₀	(υ ² _x ₁ + υ ² _x ₂ +..... + υ² _x_n).	(9.1.15)
l

Среднее значение квадрата υ _x равно	υ ² _x = (υ ² _x ₁ + υ ² _x ₂	+.... + υ² _x_n) N,
следовательно
		F = ^m ⁰υ² _x	N.	(9.1.16)
		l

Для любой скорости выполняется соотношение υ² = υ ² _x + υ ² _y + υ² _z, или

υ ² = υ ² _x + υ ² _y + υ² _z. Так как молекулы движутся хаотически, то все направления движения равноправные и υ² _x = υ ² _y = υ² _z. Значит

υ ² = 3 υ² _x

⇒

υ ² _x = υ²

(9.1.17)

_F ₌ ^m 0

υ² _x N

⇒

_F ₌ ^m 0

υ²

(9.1.18)

Давление на стенку сосуда примет вид

p =

m N

_υ 2

m N

_υ2

¹ m n υ²

, (9.1.19)

⇒ p =

где N / V = n − концентрации молекул газа. Выражение (9.1.19) является

основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Егоможно представить в следующем виде

			m	_υ2
		p =		n	⇒ p =	n ε _п,	(9.1.20)


m	_υ2	− среднее значение кинетической энергии поступа-
где ε _п = ⁰
тельного движения одной молекулы.
Сравнивая выражение (9.1.20) с уравнением (9.1.10), получаем что
					ε _п =	³ kT,		(9.1.21)

т. е. абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.