Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям

 

В соответствии с молекулярно-кинетической теорией молекулы газа совершают хаотическое движение. Это позволяет предположить, что в состоянии термодинамического равновесия все направления скоростей молекул в пространстве равновероятны, хотя значения этих скоростей не являются равновероятными (опыт Штерна).

 

Разобьем общее число молекул N на небольшие группы из dN _υ молекул, значение скорости которых лежат в пределах от υ до υ + d υ. Тогда dp = dN _υ / N это вероятность того, что молекула газа имеет ско-рость в заданном интервале от υ до υ + d υ (или доля частиц от общего числа скорости которых лежат в интервале от υ до υ + d υ). Согласно теории вероятности, плотность вероятности (а в статистической фи-зике ее называют функцией распределения) будет иметь

f (υ)= dp.	(10.1.1)
d υ

 

В каждую такую группу при заданной температуре Т попадает число молекул

 

dN υ= Nf (υ) d υ.

(10.1.2)

 

Функция f (υ), зависящая от модуля скорости υ, называется функцией распределения молекул по скоростям. В1859г.Джеймс Максвелл полу-

 

чил в явном виде эту функцию. Функция распределения молекул газа по скоростям (функция распределение Максвелла) имеет вид

 

	m	3			m υ2
	2
f (υ)=			exp	−			4πυ2.	(10.1.3)
	2 π kT			2 kT

 

Число молекул, скорости которых имеют значения, заключен-ные в пределах от υ до υ + d υ равно

 

Рис. 10.1.1

υв 〈υср〉 υкв

T 2> T 1

T 1

f (υ)

	m	3			m υ2
	2		4πυ 2 d υ. (10.1.4)
dN υ= Nf (υ) d υ= N			exp	−
	2 π kT			2 kT

 

А вероятность того, что молекула газа имеет скорость в заданном ин-тервале от υ до υ + d υ (или доля частиц от общего числа, скорости ко-торых лежат в заданном интервале от υ до υ + d υ) определяется вы-ражением

 

	dN			m	3			m υ2
	υ		2		4πυ2 d υ. (10.1.5)
dp υ=		= f (υ) d υ=			exp	−
	N			2 π kT			2 kT

 

График функции рас-пределения молекул газа по скоростям представлен на рис. 10.1.1. Скорость, отвечающая максимуму функции распре-деления молекул газа по ско-

⁰ υ ростям, называют наиболее

 

вероятной скоростью. Этойскорость обладает наибольшее

 

количество частиц при заданной температуре Т. Найдем наиболее веро-ятную скорость. Для этого возьмем производную по υ от выражения (10.1.3) и приравняем к нулю.

 

df (υ)

d

m

3

m υ2

=

4 π

exp

−

υ

= 0

⇒

d υ

d υ

2 π kT

2 kT

⇒

−

m

υ 2

2 −

m

υ2

υ= 0 ⇒

2 −

m υ2

exp

= 0. (10.1.6)

2 kT

kT

kT

υ

в

=

2 kT

=

2 kTN A =

2 RT .

(10.1.7)

m 0

m 0 N A

M

Найдем среднюю арифметическую скорость молекул газа:

∞

m

3

∞

m υ2

υ f

(

υ d υ=

υ3 d υ. (10.1.8)

υ =

∫

4π

∫

exp

−

)

2 kT

o

2 π kT

o

 

 

Интегрирование данного выражения по частям приводит к тому, что

 

υ =	8 kT	=	8 RT .	(10.1.9)
	π m		π M

Найдем среднее значение квадрата скорости молекул газа:

 

∞

m

∞

m υ2

3 kT

(

υ

=

∫

υ

f

υ d υ=

4 π

∫

exp

−

υ

d υ=

. (10.1.10)

)

2 kT

m 0

o

2 π kT

o

Корень квадратный из среднего значения квадрата скорости

υ2 на-

зывается средней квадратичной скоростью, и она равна

υ = υ2

⇒ υ = 3 kT =

3 RT .

(10.1.11)

кв

кв

m 0

M

Для определения доли р частиц, скорости которых лежат в некото-ром интервале скоростей от υ₁ до υ₂, необходимо вычислить интеграл

 

N

υ 2

m

υ 2

m υ2

p =

f

(

υ d υ=

d υ. (10.1.12)

υ =

∫

4π

∫

exp

−

υ

N

)

2 kT

υ

2 π kT

υ

С точки зрения математики величина

р −это площадь под кри-

волинейной

трапеции

ограниченной

интервалом

от

υ1 до υ2

(рис. 10.1.2).

Вероятность того скорость молекулы газа лежит в интервале от

0 до ∞ равна

N

∞

m

∞

m υ2

υ =

(

υ 2 d υ=1. (10.1.13)

p =

∫

f

υ d υ= 4 π

∫

exp

−

N

)

2 kT

2 π kT

Условие (10.1.13) является условие нормировки для функции

распределение Максвелла.

f (υ)

dN (υ)

Так как в конечных пределах вы-

числение интеграла (10.1.12) затрудне-

N

но, то используют приближенные мето-

ды расчета. Для расчетов часто исполь-

зуют распределения Максвелла по от-

υв.

υ1 υ2 υ

носительным скоростям. Относитель-

Рис. 10.1.2

ной скоростью молекулы называют вели-

 

 

чину u = υ/υ_в. Чтобы получить распределения Максвелла по относи-тельным скоростям перейдем от переменной υ к переменной u. Произ-

ведя подстановку	υ= u υ = u	2 kT, и d υ = du υв = du	2 kT в выраже-
		в			m 0				m 0
нии (10.1.5) получим
		dN	u
			=		exp(− u		) u	du.	(10.1.14)
		N		π

Исходя из распределения Максвелла по скоростям, можно также найти распределение молекул по значениям кинетической энергии по-

 

ступательного движения. Для этого перейдем от переменнойυк пе-

 

ε = m 0υ

2

2ε

1

ременной

.

Произведя

подстановку υ=

, и

m 0

d υ=(2 m ε)− 1 2 d εв выражении(10.1.5)получим

dN

− 3

ε

N

ε

=

(kT)

2 exp −

ε d ε,

(10.1.15)

π

kT

где dN _ε / N − доля молекул, кинетическая энергия поступательного дви-жения которых имеет значения, заключенные в пределах от ε до ε + d ε, или вероятность того, что кинетическая энергия поступательного движения молекулы имеет значение, заключенное в пределах от ε до

 

ε + d ε.

 

Выражение (10.1.15) называют распределением молекул по зна-чениям кинетической энергии поступательного движения.

С помощью этой функции можно вычислить среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы

 

∞

(kT)−

3

∞

−

ε

3 kT

ε = ∫ ε f (ε) d ε =

e ∫ xp

ε d ε =

. (10.1.16)

π

kT

Полученный результат согласуется с законом Больцмана о рав-номерном распределении энергии по степеням свободы.

 

= −ρ gdh, (10.2.1)

Барометрическая формула

 

Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено си-

 

лой тяжести вышележащих слоев газа. Допус-
тим, что на высоте h давление будет p. Тогда	p + dp
	dh
давление на высоте h + dh будет p + dp, при-	p
чем если dh больше нуля, то dp < 0, так как
давление с высотой убывает. Разность давле-			h
ний равна давлению силы тяжести газа dmg,
	Рис. 10.2.1
заключенного в объеме цилиндра с площадью
основания S и высотой dh, т. е.

p −(p + dp)= dmg S ⇒− d ρ=ρ Sdhg S ⇒ dp

 

где ρ − плотность газа на высоте h.

 

В условиях, близких к нормальным, воздух мало чем отличается по своему поведению от идеального газа. Поэтому, применив уравне-ние Менделеева − Клапейрона для произвольной массы газа, выразим его плотность

pV =	m	RT ⇒	pM	= m	⇒ ρ =	pM .	(10.2.2)
M	RT
		V		RT

 

Подставим выражение (10.2.2) в (10.2.1) и получим

dp = − pMg dh или	dp	= − Mg dh.	(10.2.3)
RT	p	RT

 

Предположим, что температура воздуха не зависит от высоты

(изотермическая атмосфера) и на высоте h = 0 давление равно p ₀.

 

Тогда проинтегрировав выражение (10.2.3) получим

 

p	dp	h	Mg			p		Mgh
∫	p	= −∫	RT dh	⇒	ln		= −	RT .	(10.2.4)
p
p

 

Потенцируя выражение (10.2.4) получим выражение

 

	−	Mgh	,	(10.2.5)
p = p 0exp
		RT

 

которое назвают барометрической формулой.

 

Полученная барометрическая формула дает зависимость давле-ния от высоты над поверхностью Земли для воображаемой изотерми-ческой атмосферы.

 

Если учесть, что

 

M R =(m 0 N A)(kN A)= m 0 k,

(10.2.6)

где m ₀ − масса одной молекулы, k − постоянная Больцмана.

 

Тогда
p = p	exp		− m 0 gh .	(10.2.7)
			kT