Волновая функция свободной частицы

Рассмотрим волновую функцию свободной микрочастицы, кото-рая имеет определенные значения импульса р и энергии Е, т. е. движется со скоростью υ, например, вдоль оси Ох (р_у = р_z = 0). Так как из опытов следует, что параллельный пучок элементарных частиц обладает свой-ствами плоской волны распространяющейся в направлении скорости частиц, то рассмотрим в общем виде плоскую волну распространяю-щуюся вдоль Ох. Запишем волновую функцию свободной частицы в комплексном виде по аналогии с уравнением плоской волны

Ψ = Ae ⁻ ⁱ ⁽ ^ω ^t ⁻ ^kx ⁾ = A cos(ω t − kx) − i sin(ω t − kx).

(8.6.1)

Преобразуем выражение (8.6.1), используя формулы взаимосвя-зи импульса р и энергии Е частицы (корпускулярных характеристик) с волновым числом k и циклической частотой ω (с волновыми характе-ристиками частицы)

E = h ν = h

⇒ ω= 2 π

(8.6.2)

2π

k = ²^π =

2π

₌ 2π p

(8.6.3)

h p

Подставим (8.6.2−8.6.3) в уравнение (8.6.1) и получим

Ψ = Ae

−

(Et − px)

(8.6.4)

где h =

− постоянная Планка.

2π

Представим уравнение (8.6.4) в виде

−

Ψ = Ae ^h

=ψ e

(8.6.5)

где ψ = Ae ^h

− амплитудная

часть

волновой

функции,

зависящая

только от координаты.

Применим к ψ оператор Лапласа

∂ ² ψ

∂²

Δψ =

Ae ^h

= A

e ^h

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x

= −

m ²

υ ²

ψ = −

2 m m υ²

ψ = −

2 m

K ψ

h ²

h²

и получим уравнение Шредингера для свободной частицы

Δψ + ² _h ^m ₂ K ψ = 0.

, (8.6.6)

(8.6.7)

Обобщим это уравнение для несвободной частицы, заменив кинетиче-скую энергию К на разность между полной энергией Е и потенциаль-ной энергией U:

Δψ +	² ^m ₂ (E − U)ψ = 0,	(8.6.8)
	h

где U − потенциальная энергия частицы в стационарных потенциаль-ных силовых полях.

Уравнение (8.6.8) является стационарным уравнением Шредин-гера. Изложенные выше рассуждения не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Однако они показывают, на примере свободной частицы, каким образом можно прийти к установлению этого уравнения.