Уравнения (8.4.1) и (8.4.6) являются сложными дифференциаль-ными уравнениями в частных производных. Известны аналитические решения только для очень простых зависимостей потенциальной
| энергии. | U | ||||||
| Рассмотрим следующую задачу: час- | |||||||
| U =∞ | |||||||
| тица находится в одномерной прямоуголь- U = ∞ | U = 0 | ||||||
| ной потенциальной яме с бесконечно вы- | |||||||
| сокими стенками (рис. 8.8.1). Потенциаль- | x | ||||||
| ной ямой с бесконечно высокими стенками | |||||||
| L | |||||||
| называется область пространства, в кото- | Рис. 8.8.1 | ||||||
| рой потенциальная энергия определена со- | |||||||
 отношениями
| |||||||
| ∞, | x <0 | ||||||
| ≤ x ≤ L. | (8.8.1) | ||||||
| U (x)=0, 0 | |||||||
| ∞, | x > L | ||||||
| В одномерном случае U = U (x), ψ = ψ(x), Δψ = | d 2ψ | , поэтому | ||
| dx 2 | ||||
| стационарное уравнение Шредингера (8.4.6) примет вид | ||||
| d 2ψ( x ) + | 2 m (E − U (x))ψ(x) = 0. | (8.8.2) | ||
| dx 2 | h2 |
Поскольку потенциальная энергия U за границами ямы беско-нечно велика, то вероятность нахождения частицы за пределами ямы равна нулю. Тогда значения функции ψ на границах ямы (в точках с координатами х = 0 = L) должны быть равны нулю, т. е. получаем гра-ничные условия для собственной волновой функцииψ(х):
| ψ(0) = 0, ψ(L) = 0. | (8.8.3) |
Так как внутри ямы U = 0, то уравнение (8.8.2) примет вид
| d 2ψ(x) | + | 2 m | E ψ(x)=0. | (8.8.4) | ||||||||||||
| dx 2 | h2 | |||||||||||||||
| Обозначим | ||||||||||||||||
| 2 m | E = | 2 m m υ2 | = | (2π)2 p 2 | 2 π | 2 | = k | , | (8.8.5) | |||||||
| h | h | h | = | |||||||||||||
| λ | ||||||||||||||||
| с учетом этого получает дифференциальное уравнение вида | ||||||||||||||||
| d 2ψ | + k 2 ψ (x) = 0. | (8.8.6) | ||||||||||||||
| dx 2 | ||||||||||||||||
| Общее решение дифференциального уравнения (8.8.6) имеет вид | ||||||||||||||||
| ψ(x) = A sin kx + B cos kx. | (8.8.7) |
Подставим в формулу (8.8.7) первое граничное условие из (8.8.3)
| ψ(x) = A sin 0 + B cos 0 = 0 ⇒ B = 0. | (8.8.8) |
С учетом второго граничного условия из (8.8.3) решение урав-нения (8.8.8) будет иметь вид
| ψ(x) = A sin kx. | (8.8.9) |
Подставим второе граничное условие (8.8.3) в выражение (8.8.9)
| ψ(L) = A sin kL = 0. | (8.8.10) |
Выполнения условия (8.8.10), возможно лишь в случае, если
| kL =± n π,где n = 1, 2, 3, 4, …. | (8.8.11) |
Значение n = 0 отпадает, поскольку при этом получается ψ = 0 − частица нигде не находится.
Подставим в выражение (8.8.11) выражение (8.8.5)
| 2 m E L = ± n π⇒ | E = π2h2 | n 2,где n = 1, 2, 3, 4, …. (8.8.12) | ||
| h2 | n | 2 mL 2 | ||
Из выражения (8.8.12) видно, что спектр собственных энергий
частицы в рассматриваемой потенциальной яме является дискрет-ным. Этот результат согласуется с гипотезой Планка о квантовании энергии и является характерным свойством уравнения Шредингера. Также следует отметить то факт, что энергия микрочастицы в со-стоянии с наименьшим значением п = 1 (в основном состоянии) не
равна нулю.
Число n, определяющее допустимые значения энергий микро-частицы, называется главным квантовым числом. Квантовое стацио-нарное состояние с заданным значением n имеет фиксированное зна-чение энергии Еn (Еn = const). Состояние с фиксированной энергией соответствует в классическом случае движению частицы некоторой орбите, параметры которой удовлетворяют закону сохранения энергии
(К + П = const).
Из выражения (8.8.11) следует, что волновое число
| k = | n π | , где n = 1, 2, 3, 4, …. | (8.8.13) | |
| L | ||||
Так как волновое число k связано с длиной волны де Бройля λБр соотношением
| k = | 2π | = n π | , где n = 1, 2, 3, 4, …, | (8.8.14) | |
| λБр | |||||
| L |
то соответствующие длины волн де Бройля должны удовлетворять ус-ловию, при котором
| L = n | λБр | ⇒ λ Бр = | 2 L | , где n = 1, 2, 3, 4, …, | (8.8.15) | |
| n | ||||||
т. е. на ширине L потенциальной ямы должно укладываться целое чис-ло полуволн де Бройля, (или целое число стоячих волн де Бройля).
Найдем выражение для волновой функции частицы, находящей-ся в бесконечной потенциальной яме. Подставим выражение (8.8.14) в выражение (8.8.9)
| ψ (x) = A sin | n π | x. | (8.8.16) | |
| L |
Для нахождения значения А воспользуемся условием нормиров-ки волновой функции (8.3.7)
| L | L | ||||||||||||||||||
| ∫ | Ψ | 2 dV =1⇒∫ A 2sin2 n π xdx =1 | ⇒ A 2∫sin2 n π xdx =1 | ⇒ | |||||||||||||||
| L | L | ||||||||||||||||||
| ∞ | |||||||||||||||||||
| A 2 L | 2 n π | A 2 L | L | 2 n π | |||||||||||||||
| ∫(1 − cos | L | x) dx =1 | ⇒ | ∫ dx − ∫ | 1 | − cos | L | x dx | =1 | ⇒ | |||||||||
| 2 0 | 2 0 |
| 2 L | A | ||||||||||||||||||||||
| A | =1 ⇒ | = | ⇒ | A = | . | (8.8.17) | |||||||||||||||||
| L | L | ||||||||||||||||||||||
| Подставим (8.8.17) в выражение (8.8.16) и получим | |||||||||||||||||||||||
| ψ (x) = | sin | n π | x. | (8.8.18) | |||||||||||||||||||
| L | L | ||||||||||||||||||||||
| Полное выражение для волновой функции будет иметь вид | |||||||||||||||||||||||
| Ψ (x) = | n π | x e | − | iEt | |||||||||||||||||||
| sin | h. | (8.8.19) | |||||||||||||||||||||
| L | L | ||||||||||||||||||||||
Квадрат модуля волновой функции, который является плотно-стью вероятности нахождения частицы заданной точке пространства, равен
| f (x)= | ψ (x) | 2 = | sin2 | n π | x. | (8.8.20) | |||||
| L | L | состояний (n = | |||||||||
| Построим для четырех первых | квантовых | ||||||||||
= 1, 2, 3, 4) уровни спектра энергий (рис. 8.8.2, а), волновые функции (рис. 8.8.2, б) и плотность вероятности нахождения частицы заданной точке (рис. 8.8.2, в).
| E E 4 | Ψ4 | f 4 | |||||||
| Ψ | f 3 | ||||||||
| E 3 | |||||||||
| Ψ | f 2 | ||||||||
| E 2 | |||||||||
| E 1 | Ψ1 | f 1 | |||||||
| |||||||||
| L x | L x | ||||||||
| a | б | в | |||||||
| Рис. 8.8.2 | |||||||||
