Уровни энергии и волновая функция частицы, находя-щейся в прямоугольной потенциальной яме

 

Уравнения (8.4.1) и (8.4.6) являются сложными дифференциаль-ными уравнениями в частных производных. Известны аналитические решения только для очень простых зависимостей потенциальной

энергии.	U
Рассмотрим следующую задачу: час-
		U =∞
тица находится в одномерной прямоуголь- U = ∞	U = 0
ной потенциальной яме с бесконечно вы-
сокими стенками (рис. 8.8.1). Потенциаль-			x
ной ямой с бесконечно высокими стенками
		L
называется область пространства, в кото-	Рис. 8.8.1
рой потенциальная энергия определена со-
отношениями
∞,	x <0
		≤ x ≤ L.	(8.8.1)
U (x)=0, 0
	∞,	x > L

 

В одномерном случае U = U (x), ψ = ψ(x), Δψ =	d 2ψ	, поэтому
dx 2
стационарное уравнение Шредингера (8.4.6) примет вид
d 2ψ( x ) +	2 m (E − U (x))ψ(x) = 0.		(8.8.2)
dx 2	h2

Поскольку потенциальная энергия U за границами ямы беско-нечно велика, то вероятность нахождения частицы за пределами ямы равна нулю. Тогда значения функции ψ на границах ямы (в точках с координатами х = 0 = L) должны быть равны нулю, т. е. получаем гра-ничные условия для собственной волновой функцииψ(х):

 

ψ(0) = 0, ψ(L) = 0.

(8.8.3)

 

Так как внутри ямы U = 0, то уравнение (8.8.2) примет вид

 

 

d 2ψ(x)

+

2 m

E ψ(x)=0.

(8.8.4)

dx 2

h2

Обозначим

2 m

E =

2 m m υ2

=

(2π)2 p 2

2 π

2

= k

,

(8.8.5)

h

h

h

=

λ

с учетом этого получает дифференциальное уравнение вида

d 2ψ

+ k 2 ψ (x) = 0.

(8.8.6)

dx 2

Общее решение дифференциального уравнения (8.8.6) имеет вид

ψ(x) = A sin kx + B cos kx.

(8.8.7)

 

Подставим в формулу (8.8.7) первое граничное условие из (8.8.3)

 

ψ(x) = A sin 0 + B cos 0 = 0 ⇒ B = 0.

(8.8.8)

 

С учетом второго граничного условия из (8.8.3) решение урав-нения (8.8.8) будет иметь вид

 

ψ(x) = A sin kx.

(8.8.9)

 

Подставим второе граничное условие (8.8.3) в выражение (8.8.9)

 

ψ(L) = A sin kL = 0.

(8.8.10)

 

Выполнения условия (8.8.10), возможно лишь в случае, если

 

kL =± n π,где n = 1, 2, 3, 4, ….

(8.8.11)

 

Значение n = 0 отпадает, поскольку при этом получается ψ = 0 − частица нигде не находится.

 

Подставим в выражение (8.8.11) выражение (8.8.5)

2 m E L = ± n π⇒	E = π2h2	n 2,где n = 1, 2, 3, 4, …. (8.8.12)
h2	n	2 mL 2

Из выражения (8.8.12) видно, что спектр собственных энергий

 

частицы в рассматриваемой потенциальной яме является дискрет-ным. Этот результат согласуется с гипотезой Планка о квантовании энергии и является характерным свойством уравнения Шредингера. Также следует отметить то факт, что энергия микрочастицы в со-стоянии с наименьшим значением п = 1 (в основном состоянии) не

 

равна нулю.

 

Число n, определяющее допустимые значения энергий микро-частицы, называется главным квантовым числом. Квантовое стацио-нарное состояние с заданным значением n имеет фиксированное зна-чение энергии Е_n (Е_n = const). Состояние с фиксированной энергией соответствует в классическом случае движению частицы некоторой орбите, параметры которой удовлетворяют закону сохранения энергии

(К + П = const).

 

Из выражения (8.8.11) следует, что волновое число

 

k =	n π	, где n = 1, 2, 3, 4, ….	(8.8.13)
L

Так как волновое число k связано с длиной волны де Бройля λ_Бр соотношением

k =	2π	= n π	, где n = 1, 2, 3, 4, …,	(8.8.14)
λБр
	L

то соответствующие длины волн де Бройля должны удовлетворять ус-ловию, при котором

L = n	λБр	⇒ λ Бр =	2 L	, где n = 1, 2, 3, 4, …,	(8.8.15)
	n

 

т. е. на ширине L потенциальной ямы должно укладываться целое чис-ло полуволн де Бройля, (или целое число стоячих волн де Бройля).

 

Найдем выражение для волновой функции частицы, находящей-ся в бесконечной потенциальной яме. Подставим выражение (8.8.14) в выражение (8.8.9)

 

ψ (x) = A sin	n π	x.	(8.8.16)
	L

Для нахождения значения А воспользуемся условием нормиров-ки волновой функции (8.3.7)

 

L

L

∫

Ψ

2 dV =1⇒∫ A 2sin2 n π xdx =1

⇒ A 2∫sin2 n π xdx =1

⇒

L

L

∞

A 2 L

2 n π

A 2 L

L

2 n π

∫(1 − cos

L

x) dx =1

⇒

∫ dx − ∫

1

− cos

L

x dx

=1

⇒

2 0

2 0

 

2 L

A

A

=1 ⇒

=

⇒

A =

.

(8.8.17)

L

L

Подставим (8.8.17) в выражение (8.8.16) и получим

ψ (x) =

sin

n π

x.

(8.8.18)

L

L

Полное выражение для волновой функции будет иметь вид

Ψ (x) =

n π

x e

−

iEt

sin

h.

(8.8.19)

L

L

Квадрат модуля волновой функции, который является плотно-стью вероятности нахождения частицы заданной точке пространства, равен

 

f (x)=		ψ (x)		2 =		sin2	n π	x.	(8.8.20)
					L		L	состояний (n =
Построим для четырех первых	квантовых

= 1, 2, 3, 4) уровни спектра энергий (рис. 8.8.2, а), волновые функции (рис. 8.8.2, б) и плотность вероятности нахождения частицы заданной точке (рис. 8.8.2, в).

E E 4	Ψ4	f 4
	Ψ	f 3
E 3
	Ψ	f 2
E 2
E 1	Ψ1	f 1
		L x		L x
	a	б		в
		Рис. 8.8.2