Волновая функция и ее статистический смысл

 

Соотношение между импульсом р частицы и длиной волны де Бройля λ_Бр, справедливость которого подтверждена эксперимен-тально, привело к убеждению, что для описания состояния микрочас-тицы нужно воспользоваться некоторым волновым образованием. В квантовой механике такому волновому образованию соответствует функция координат и времени, получившая название волновой функ-ции Ψ(x, y, z, t).Она выступает как основной носитель информации окорпускулярных и волновых свойствах микрочастицы. Поясним смысл волновой функции на примере интерпретации опыта по прохо-ждению электронов через две щели.

Пусть на экран, где			ФП
имеются две щели, рас-
стояние между которыми
сравнимо	с дебройлев-		1				1
ской длиной волны, на-
правлен	поток ускорен-						2
ных электронов со строго		2
фиксированным импуль-
сом (рис. 8.3.1, а). При-
чем интенсивность пото-	а	б		в		г
ка настолько мала, что на
		Рис. 8.3.1
экран в каждый относи-

тельно малый промежуток времени, необходимый для регистрации отдельной частицы, попадает только один электрон. Прошедшие через две щели электроны можно регистрировать различными методами, но во всех случаях они проявляют себя как отдельные частицы, случайно попадающие в различные места экрана. Однако за длительный про-межуток времени пространственное распределение интенсивности (например, степени почернения фотопластинки ФП), которая пропор-циональна количеству электронов, попавших на единичный участок фотопластинки, имеет вид регулярно чередующихся минимумов и максимумов рис. 8.3.1, г. Если оставить открытой только первую или вторую щель, то распределение интенсивностей будет определяться кривыми, изображенными на рис. 8.3.1, в (кривые 1 и 2). Сопоставле-ние кривых показывает, что распределение интенсивности (рис.

 

 

8.3.1, в) не является суммой интенсивностей 1 ₁ и I ₂. B этом случае кривая распределения интенсивности от двух щелей имеет вид, соот-ветствующий типичной интерференционной картине, когда в одних точках экрана наблюдается усиление, а в других − ослабление интен-сивности. Объяснить наблюдаемое распределение интенсивности электронов можно только в рамках двух следующих предположений, не имеющих аналога в классической физике.

 

1. Электрон при прохождении через экран, в котором открыты обе щели, проявляет себя как волновой объект, одновременно прохо-дящий через обе щели: волновая функция электрона, попадающего на экран, является суммой волновых функций Ψ₁ и Ψ₂, каждая из кото-рых описывает состояние электрона, когда открыта соответственно только первая и только вторая щель:

 

Ψ = Ψ1 + Ψ2.

(8.3.1)

 

Это утверждение совпадает с правилом сложения волн и являет-ся частным случаем одного из важнейших принципов квантовой ме-

 

ханики − принципа суперпозиции для волновых функций: если для фи-зической системы возможно состояние с волновой функцией Ψ₁и со-стояние с волновой функцией Ψ₂ может реализоваться и смешанное состояние с волновой функцией

Ψ = a Ψ1 + b Ψ2,

(8.3.2)

 

где а и b − некоторые комплексные или действительные числа.

 

В рассмотренном эксперименте (рис. 8.3.1) волновая функция электрона в случае с обеими открытыми щелями является суперпози-цией волновых функций электрона в опытах с поочередно открытой первой или второй щелью. Справа от экрана со щелями эти волновые функции накладываются и дают типичную интерференционную карти-ну. Так можно объяснить механизм прохождения электронами щелей.

 

Различие принципов суперпозиции квантовой и классической физики состоит в следующем. Если в классической физике имеются, например, два одинаковых колебания, то в результате их суперпози-ции получается новое колебание. Причем физические величины в но-вом колебании имеют, вообще говоря, иные значения, чем в исходных колебаниях. В квантовой теории сложение двух одинаковых состоя-ний сводится к умножению волновой функции на постоянную вели-чину и, следовательно, приводит к тому же состоянию, потому что волновые функции, отличающиеся постоянным множителем, описы-

 

вают одно и то же состояние. Физические величины в результате та-кой суперпозиции не изменяют своих значений, потому что не изме-няется состояние. Принцип суперпозиции показывает, что из имею-щихся квантовых состояний можно образовать многими способами новые состояния и каждое состояние можно рассматривать как ре-зультат суперпозиции двух или многих других состояний, причем бесконечным числом способов. Суперпозиция квантовых состояний является физическим принципом, но представление состояния как ре-зультата суперпозиции других состояний является чисто математиче-ской процедурой и всегда независимо от физических условий. Однако насколько это целесообразно, и какое именно представление целесо-образно, зависит от конкретных физических условий.

2. Квадрат амплитуды световой волны определяет плотность ве-роятности попадания фотона в соответствующую точку пространства. Точно так же квадрат модуля волновой функции Ψ(x, y, z, t) определяет плотность вероятности того,что в заданный момент времени t кван-товая частица находится в точке пространства с координатами х, у, z:

 

|Ψ|2 = f (x, y, z, t).

(8.3.3)

Это выражение получило название постулата Борна.

 

Квадрат модуля комплексной волновой функции определяется соотношением

 

|Ψ|2 = Ψ · Ψ*.

(8.3.4)

Это важное и, как оказалось, правильное утверждение М. Борна, вы-

 

сказанное в 1926 г., дает статистическую, т. е. вероятностную, ин-терпретацию квадрата модуля волновой функции.

 

Тем самым удалось совместить свойства микрочастиц интерфе-рировать со свойством регистрироваться по отдельности. Предложен-ная Борном трактовка сущности волновой функции, и в частности волны де Бройля для свободной частицы, принципиально отличает ее от упругой волны в сплошной среде и электромагнитных волн. Вместе с тем аналогия волновых процессов различной природы позволяет обосновать утверждение (8.3.3) с точки зрения обычных волн.

 

Вероятность dp того, что частица находится в элементе объема dV равна

 

dp = fdV = |Ψ|2 dV.

(8.3.5)

Вероятность найти частицу в конечном объеме V определяют как

 

 

p =∫ dp =∫		Ψ		2 dV.	(8.3.6)
V	V

 

Если частица находится в неограниченном пространстве, то ве-роятность ее обнаружения в нем равна единице, отсюда следует усло-вие нормировки волновой функции

 

∫		Ψ		2 dV =1.	(8.3.7)
∞

 

Уравнение Шредингера

 

Построение квантовой механики невозможно без уравнения, ко-торое позволило бы по заданным внешним силовым полям и началь-ным условиям описывать движение частицы в пространстве и во вре-мени. Состояние квантовой частицы определяется плотностью веро-ятности нахождения частицы в момент времени t в точке с координа-тами х, у, z. Плотность вероятности задается квадратом модуля волно-вой функции |Ψ(х, у, z, t)|². Поэтому искомое уравнение должно быть уравнением относительно волновой функцией Ψ(х, у, z, t). Также это уравнение должно обладать некоторыми чертами, присущими волно-вому уравнению для упругих волн, поскольку оно призвано учитывать волновые свойства микрочастиц. Эту задачу решил Шредингер, кото-рый написал в 1926 г. уравнение, решая которое можно находить вол-новую функцию:

 

i h	∂Ψ	= −	h2	ΔΨ + U Ψ,						(8.4.1)
∂ t	2 m
где i = −1 − мнимая единица; m − масса частицы;	=	∂2	+	∂ 2	+		∂2	−
∂ x 2	∂ y 2		∂ z 2

оператор Лапласа; U (x, у, z, t) − потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле.

	∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ
ΔΨ =	∂ x 2 + ∂ y 2 + ∂ z 2 .	(8.4.2)

Выражение (8.4.1) называют временным уравнением Шрединге-

 

ра. Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовоймеханики. Как и уравнение для второго закона Ньютона, не выводит-ся, а постулируется. Критерием его справедливости является хорошее согласие результатов, полученных на основе формулы (8.4.1), с экспе-

 

риментальными данными в атомной и ядерной физике.

 

В тех случаях, когда частица находится в стационарных потен-циальных силовых полях (потенциальная энергия U не зависит от времени), то решение уравнения (8.4.1) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от коор-динат, а другая только от времени

 

iEt
Ψ (x, y, z, t) =ψ (x, y, z) ⋅ e − i ω t =ψ (x, y, z) ⋅ e − h,	(8.4.3)

 

где Е − полная энергия частицы, которая в случае стационарности по-ля остается неизменной.

 

Подставим функцию (8.4.3) во временное уравнение Шрединге-

 

ра (8.4.1)

i h

− iE

iEt

h2

iEt

iEt

ψ (x, y, z) e − h

= −

Δψ (x, y, z) e −

h

+ U ψ(x, y, z) e −

h. (8.4.4)

h

2 m

Сократив выражение (8.4.4) на величину e

− iEt

h получим

E ψ(x, y, z)= −

h2

Δψ (x, y, z) + U ψ(x, y, z).

(8.4.5)

2 m

Преобразуем выражение (10.4.5)

Δψ (x, y, z) + 2 m 2 (E − U)ψ (x, y, z) = 0.

(8.4.6)

h

Выражение (8.4.6) называется стационарным уравнением Шре-дингера.

 

Функции ψ(х, у, z), являющиеся решениями уравнения (8.4.6), называются собственными функциями. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (8.4.6) в ряде случаев имеют решения не при всех значениях энергии Е, а лишь при опреде-ленных ее значениях. Значения энергии Е, при которых имеет место решение уравнения Шредингера, называют собственными значениями энергии. Собственные значения энергии Е могут образовывать как не-прерывный, так и дискретный ряд значений энергии. В первом случае говорят о непрерывном, во втором − о дискретном спектре энергии.

 

Лекция № 14

 

8.6. Волновая функция свободной частицы.

 

8.7. Соотношение неопределенностей.

8.8. Уровни энергии и волновая функция частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме.