Длина свободного пробега и среднее число столкновений молекул идеального газа

	Молекулы газа,	находясь
d	в тепловом движении, непре-
рывно сталкиваются друг с дру-
	гом. Под столкновением моле-
	кул подразумевают	процесс
	взаимодействия между молеку-
	лами, в результате которого мо-
	лекулы изменяют	направление
Рис. 11.2.1	своего движения.	Минимальное
	расстояние d, на которое сбли-

жаются при столкновении центры двух молекул, называется эффек-

тивным диаметром молекулы. Величинаσ=π d ²называется эффек-

 

тивным сечением молекулы.Эффективный диаметр молекул зависитот их энергии молекул, а, следовательно, и от температуры. С повыше-нием температуры эффективный диаметр молекул уменьшается. Пред-положим вначале, что все молекулы, кроме выбранной, застыли непод-вижно на своих местах. Рассмотрим движение выделенной молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь пря-молинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой непод-вижной молекулой. Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется на прямой, вдоль которой ле-тит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра моле-кулы. В результате столкновения молекула изменит направление сво-его движения, после чего некоторое время опять будет двигаться пря-молинейно, пока на ее пути не встретится молекула, центр которой бу-дет находиться в пределах цилиндра радиуса d (см. рис. 11.2.1). Число соударений с молекулами, происходящих за время t, равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь ломаного цилиндра длины l = υ_отн t и радиуса d. Гдеυ_отн−средняя скорость движения моле-

кул по отношению друг к другу (а не средней скоростью молекул отно-сительно стенок сосуда). Объем цилиндра можно считать равным

V = π d 2	υотн t.	(11.2.1)
Если взять время t = 1 с, то объем будет равен
V = π d 2	υотн .	(11.2.3)

 

Умножив этот объем на число молекул в единице объема n, по-лучим среднее число столкновений молекулы за единицу времени (1 секунду)

 

z = π d 2υотн n.

(11.2.4)

Найдем 〈υ_отн〉. Относительная скорость двух произвольно взятых молекул равна υ_отн = υ₂ − υ₁. Возведя это соотношение в квадрат, по-

 

лучим: υ_отн² = (υ ₂ − υ₁) ² = υ ²₂ + υ₁² − 2 υ₁υ₂. Среднее значение суммы не-скольких величин равно сумме средних значений складываемых вели-

чин. Поэтому υ_отн² = υ ²₂ + υ₁² − 2 υ₁υ₂. Событие, заключающиеся

в том, что первая молекула имеет скорость υ₁, а вторая − скорость υ₂, являются статистически независимыми. Поэтому 〈υ₁ υ₂〉 = 〈υ₁〉〈υ₂〉. Для газа, находящегося в равновесии, каждый из этих сомножителей равен

нулю. Таким образом υ 2		=	υ 2	+ υ 2 = 2 υ2.	Полученный ре-
отн
зультат означает, что υотн.ср.кв. =	2υср.кв.. Средние квадратичные ско-
рости пропорциональны средним арифметическим, следовательно
	υотн	=	2 υ.	(11.2.5)
Тогда среднее число столкновений за секунду
z		=	2π d 2 υ n.	(11.2.6)

Средняя длина свободного пробега −это среднее расстояние,ко-

 

торое проходит молекула между двумя последовательными столкно-вениями. Если за время t = 1 c молекула проходит путь L = 〈υ〉 t = 〈υ〉 и претерпевает при этом в среднем 〈 z 〉 столкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна

λ =	L =	υ .	(11.2.7)
	z	z
Учитывая формулу (11.2.6) для среднего числа столкновений,
окончательно получим
λ =			.	(11.2.7)
2π d 2 n

В случае, когда длина свободного пробега молекул превышает

 

 

линейные размеры сосуда, говорят, что в сосуде достигнут вакуум. Газ в этом случае называют ультраразреженным. Хотя в буквальном смысле слова вакуум означает «пустоту», в ультраразреженном газе

 

содержится в единице объема большое число молекул. Так, при дав-лении в 10⁻⁶ мм. рт. ст. в 1 м³ находится примерно 10¹⁶ молекул. Более

 

того, в очень малых порах состояние, определяемое как вакуум, может быть достигнуто и при атмосферном давлении.

 

Поведение ультраразреженных газов отличается целым рядом особенностей. В вакууме молекулы обмениваются импульсами только со стенками сосуда, так что имеет смысл лишь понятие давления газа на стенку. Внутреннее трение в газе также отсутствует. Однако тело, движущееся в ультраразреженном газе, будет испытывать действие силы трения, обусловленной тем, что молекулы, ударяясь об это тело, будут изменять его импульс. Коэффициент теплопроводности оказы-вается в ультраразреженном газе пропорциональным плотности газа. Теплопередача от одной стенки к другой будет с понижением давле-ния уменьшаться, в то время как теплопроводность газа при обычных условиях не зависит от давления.