Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии

 

Понятие энергии в релятивистской механике сохраняет тот же смысл, что и в классической механике. Однако требование инвари-антности уравнений релятивистской механики относительно преобра-зований Лоренца приводит к установлению взаимосвязи между энер-гией E и массой т частицы, а также к изменению выражения для ее кинетической энергии К.

 

Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистской механике. Изменение кинетической энер-гии материальной точки при элементарном перемещении dr ^r равно

работе, совершаемой силой F, действующей на точку,	при этом
перемещении
d К= dA = Fdr r.	(7.8.1)

 

Воспользуемся релятивистским выражением второго закона Нью-тона (7.7.1), и с учетом dr ^r = υ dt получаем

 

 

v r

d

r

r

d

r

r

m υ

m υ

d К= Fdr

=

dr

=

υ dt

⇒

dt

1 −

υ 2

dt

1 −

υ2

c

c

r

r

m υ

⇒

d К= υ d

.

(7.8.2)

υ2

1 −

c

С учетом υ^r d υ=^r d ^υ2 из выражения (7.8.2) получаем

 

 

r

m

r

r

r

r

r

r

c

)

υ

m d υ

m 0υ(υ d

υ

К = υ d

= υ

−

=

2

2

3 2

1 −

υ

1 −

υ

1 −

υ

c

c

c

m d

r

1 −

υ2

r

υ

c 2

c

)

r

m 0(υ

d υ

= υ

−

υ

3 2

υ

3 2

−

−

c 2

c 2

m 0 c 2 d (υ2

c 2)

m c 2

=

= d

υ2

3 2

υ2

−

1 −

1

c 2

c

 

r

m d

r

m 0 d (υ

2)

υ

= υ

=

=

υ

3 2

υ

3 2

−

−

c 2

c 2

⇒

m c 2

. (7.8.3)

d К= d

υ2

1 −

c

Интегрирование уравнения (7.8.3) приводит к выражению

 

	m c 2	+ C,
К =		(7.8.4)
υ2
	1 − c 2

где С – постоянная интегрирования.

 

Найдем постоянную интегрирования С. Для этого воспользуем-ся условием, что при υ = 0 кинетическая энергия К должна быть тоже равна нулю. С учетом этого из выражения (7.8.4) получаем C = − m ₀ c ².

 

Таким образом, релятивистское выражение для кинетической энер-

 

гии имеет вид

 

 

		m c 2		− m c
К =				.	(7.8.5)
		υ2
		1 − c 2
Величина
E =		m c 2		= mc
					(7.8.6)
υ2
		1 − c 2

называется полной энергией свободной частицы (при отсутствии внешних полей).

 

Величина
E 0= m 0 c 2	(7.8.7)

 

называется энергией покоя (при υ = 0).

 

С учетом формул (7.8.6, 7.8.7) выражение для кинетической энергии (7.8.5) можно записать в виде

 

К = E − E 0 = mc 2 − m 0 c 2.

(7.8.8)

1

При υ << c, с учетом 1 −

υ 2

−2

= 1 +

1 υ2

+..., получаем выра-

c 2

2 c 2

жение для кинетической энергии в классической механике

m c 2

1 υ2

m υ2

К =

− m c

= m c

− 1

= m c

+

− 1

=

. (7.8.9)

υ2

υ2

2 c

1−

1−

c

c

Таким образом, при малых скоростях движения материальной точки ее кинетическая энергия, вычисленная по релятивистской фор-муле (7.8.5), совпадает с выражением (7.8.9) для энергии в классиче-ской механике.

 

Из соотношения (7.8.6) следует также важный вывод: энергия тела пропорциональна его релятивистской массе. Всякое изменение энергии тела сопровождается изменением его релятивистской массы и, наоборот, всякое изменение релятивистской массы сопровождается изменением энергии тела

 

E = mc 2.

(7.8.10)

 

Это утверждение носит название закона взаимосвязи релятивистской массы и энергии.