| Сложение нескольких колебаний одинакового | r | ||
| направления можно изображать графически с по- | ω A | ||
| мощью метода векторной диаграммы. | |||
| Гармоническое колебание может быть пред- | ϕ0 | ||
| ставлено графически | с помощью вращающегося O | x | |
| r | Для этого из произвольной | x | |
| вектора амплитуды A. | |||
| точки О, выбранной на оси Ох, под углом ϕ0, рав- | Рис. 5.2.1 |
ным начальной фазеr колебания, откладывается век-
тор амплитуды A. Модуль этого вектора равен амплитуде рассматри-ваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться
А по оси Ох и принимать значения от – А до + А, а
 А 2ϕ2
| колеблющаяся величина изменяться со временем | |||
| ϕ | по закону x = A cos(ω t + ϕ0). | |||
| А 1 | 1. Сложение одинаково направленных гар- | |||
| ϕ1 | монических колебаний. | |||
| х 1 | х 2 | х | Сложим два гармонических колебания | |
| одинакового направления и одинаковой частоты. |
х Смещение x колеблющегося тела будет суммой
Рис. 5.2.2
| смещений x 1 и x 2, которые запишутся следующим образом: | |
| x 1= A 1cos(ω t +ϕ1)и x 2= A 2cos(ω t +ϕ2). | (5.2.1) |
Представим оба колебания на векторной диаграммеr. Построим
по правилу сложения векторов результирующий вектор A. Проекция этого вектора на ось Ох равна сумме проекций слагаемых векторов x =
= x 1 + x 2, следовательно, вектор A представляет собой результируюr-
щее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды A по теореме косинусов
| A 2= A 2 | + A 2 | − 2 A A cos ϕ. | (5.2.3) | |
| Так как угол между векторами A 1 | и A 2 равен ϕ = π − (ϕ2 − ϕ1), | |||
то cos[π − (ϕ2 − ϕ1)] = −cos(ϕ2 − ϕ1), следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна
| A 2= A 2 | + A 2 | + 2 A A cos(ϕ | − ϕ). | (5.2.4) | |||
Определим начальную фазу результирующего колебания.
Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего коле-
бания
| tg ϕ= | A 1sinϕ1 | + A 2 sin ϕ2 | . | (5.2.5) | |||
| A cosϕ | |||||||
| + A cos ϕ | |||||||
Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колеба-ниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.
2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.
Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колеба-ния как вдоль оси X, так и вдоль оси Y. Выберем начало отсчета вре-мени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид
| x = A 1cosω t,и y = A 2cos(ω t +ϕ), | (5.2.6) |
где ϕ − разность фаз обоих колебаний.
Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6)
| параметр времени t: cos ω t = | x | , а sin ω t = 1 − cos 2 ω t = | |
| A | |||
ложим косинус во втором из уравнений (5.2.6) cos(ω t + ϕ) = cosω t · cosϕ + sinω t · sinϕ.
| Тогда | ||||||
| y = A 2[cosω t ⋅cosϕ+sinω t ⋅sinϕ]= A 2 | x | cos ϕ+ | 1 − | x 2 | ||
| A | A 2 | |||||
Перепишем это уравнение в следующем виде
1 − x 2. Раз-
A 12
(5.2.7)
sin ϕ. (5.2.8)
| y | = | x | cos ϕ+ | 1 − | x | sin ϕ | ⇒ | y | − | x | cos ϕ= | 1 − | x 2 | sin ϕ. (5.2.9) | ||||||||||||||
| A | A | A 2 | A | A | A 2 | |||||||||||||||||||||||
| После преобразования, получим | ||||||||||||||||||||||||||||
| y 2 | − 2 | y x | cos ϕ+ | x 2 | cos | ϕ= sin | ϕ − | x 2 | sin | ϕ. | (5.2.10) | |||||||||||||||||
| A 2 | A A | A 2 | A 2 | |||||||||||||||||||||||||
Используя тригонометрическое тождество cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1, окончательно получим
| x 2 | + | y 2 | − 2 | x | y | cos ϕ= sin | ϕ. | (5.2.11) | |||
| A 2 | A 2 | A A | |||||||||
Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эл-липса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и раз-ности фаз.
Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму тра-ектории для них:
а) разность фаз равна нулю [ϕ = 0].
| x | y | 2 | |||||||
| В этом случае | − | = 0, откуда получается уравнение прямой | |||||||
| A 2 | |||||||||
| A 1 | |||||||||
| y = | A 2 | x. | (5.2.12) | ||||||
| A | |||||||||
Результирующее движение является гармоническим колебанием
 вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой A =
| A 2 | + A 2. | ||||||||||||||||
| 2) разность фаз равна ±π [ϕ = ±π]. | ||||||||||||||||||
| а | y | A 1 | б | – A 1 y | в | y ϕ= − π | ||||||||||||
| А | A 2 | |||||||||||||||||
| A 2 | ||||||||||||||||||
| – A 2 | x | x | 0 A 1 | x | ||||||||||||||
| – A 2 | ϕ= | π | ||||||||||||||||
| – A 1 | A 1 | |||||||||||||||||
| ϕ= 0 | ϕ = π | |||||||||||||||||
| Рис. 5.2.3 | ||||||||||||||||||
| x | y | 2 | ||||||||||||||||
| В этом случае | + | =0, откуда получается уравнение прямой | ||||||||||||||||
| A 1 | ||||||||||||||||||
| A 2 | ||||||||||||||||||
| y = − | A 2 | x. | (5.2.13) | |||||||||||||||
| A | ||||||||||||||||||
| 3) Разность фаз равна | ± | π | π | . Тогда | ||||||||||||||
| ϕ= ± | ||||||||||||||||||
| x 2 | y 2 | |||||||||||||||||
| + | =1. | (5.2.14) | ||||||||||||||||
| A | A | |||||||||||||||||
Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответст-вующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний
эллипс вырождается в окружность. Случаи ϕ= + π 2 и ϕ= − π 2 отлича-
ются направлением движения. Если ϕ= + π 2, то уравнения колебаний имеют следующий вид: x = A 1 cosω t, и y = − A 2 sinω t и движение со-
вершается по часовой стрелке. Если ϕ= − π 2, то уравнения колебаний
имеют следующий вид: x = A 1 cosω t, и y = A 2 sinω t и движение совер-шается против часовой стрелке.
Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в.
4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных ко-лебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.
На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.
| y | y | y | y | y | |||||
| ϕ = 0 | ϕ= | π | ϕ= | π | ϕ= | 3 | π | ϕ = π | |
| Рис. 5.2.4 |
По виду фигур можно определить неизвестную частоту по из-вестной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.
