Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Линейная скорость элементарной массы mi равна υ i = ω Ri, где Ri − расстояние от элементарной массы до оси вращения. Кинетическая энергия этой элементарной массы получается выражением
| К | = | 1 m υ 2 | = | 1 m ω2 R 2. | (4.9.1) | |
| i | 2 i i | 2 ii |
Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энер-гий его частей, т. е.
| n | n | 1 | = | 1 | n | (4.9.2) | |||||
| К =∑ К i =∑ | mi ω | Ri | ω | ∑ mi Ri. | |||||||
| i =1 | i =1 | i =1 |
n
Так как величина ∑ mi Ri 2 = I − есть момент инерции тела отно-
i =1
сительно оси вращения, то кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
| 1 | |||
| К = | 2 I ω. | (4.9.3) |
Рассмотрим плоское движение тела, которое может быть пред-
ставлено как наложение двух движений − поступательного с некото-рой скоростью υ0 и вращательное вокруг соответствующей оси с уг-
ловой скоростью ωr.
Кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр
| масс тела, т. е. | ||||||
| К = | 1 m υ 2 | + | 1 I | ω2. | (4.9.4) | |
| c | 2 c |
Работа силы при вращении тела
Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет
| на изменение его кинетической энергии: | |
| δ A = d К. | (4.10.1) |
Подставим в последнее выражение уравнение (4.9.3) и продиф-ференцируем
| d К= d (1 I z ω2)= | 1 I z 2ω d ω= I ω d ω= I z ω d ω dt. | (4.10.2) | ||||
| dt | ||||||
| учитывая, что | d ω | =ε и ω dt = d ϕ, получим | ||||
| dt | ||||||
| d К= Iz εω dt = Mz d ϕ. | (4.10.3) | |||||
| Тогда элементарная работа, совершаемая силами, приложенны- | ||||||
| ми к телу | ||||||
| δ A = Mz d ϕ, | (4.10.4) | |||||
| и полная работа при повороте тела на угол ϕ за время t | ||||||
| ϕ2 | ||||||
| A =∫ | M z d ϕ. | (4.10.4) | ||||
| ϕ1 |
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Лекция № 7
5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.
5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендику-лярных гармонических колебаний.
5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.
5.4. Энергия гармонических колебаний.
5.5. Пружинный, математический и физический маятники.
Свободные гармонические колебания и их характеристики
Колебания −это движения или процессы,обладающие той или
иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются пе-риодическими,если значения физических величин,изменяющихся впроцессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение,
амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.
Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид
| x = A cos(ω t +ϕ0)или x = A sin(ω t +ϕ1), | (5.1.1) |
где ϕ1 =ϕ0 − π 2.
1) Смещение x −это величина,характеризующая колебания иравная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.
2) Амплитуда колебаний А −это величина,равная максималь-ному отклонению тела от положения равновесия.
3) Период колебаний T −это наименьший промежуток времени,через который система, совершающая колебания, снова возвращается
в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [ T ] = 1 с.
За период система совершает одно полное колебание.
4) Частота колебаний ν−это величина,равная числу колеба-ний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица изме-
рения [ν]= 1 Гц. Частота определяется по формуле
| ν = | . | (5.1.2) | |||
| T |
5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершает-ся 2π циклов колебаний, [ω]= с−1. Циклическая частота связана с пе-риодом и частотой колебаний соотношением
| ω= 2 πν = | 2π | . | (5.1.3) | |
| T |
6) Фаза колебаний ω t +ϕ0−фаза указывает местоположение ко-леблющейся точки в данный момент времени.
7) Начальная фаза ϕ0−указывает местоположение колеблю-щейся точки в момент времени t = 0.
