Лекции.Орг
 

Категории:


ОБНОВЛЕНИЕ ЗЕМЛИ: Прошло более трех лет с тех пор, как Совет Министров СССР и Центральный Комитет ВКП...


Нейроглия (или проще глия, глиальные клетки): Структурная и функциональная единица нервной ткани и он состоит из тела...


Классификация электровозов: Свердловский учебный центр профессиональных квалификаций...

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение



Загрузка...

 

Продифференцируем по времени уравнение гармонических ко-лебаний

 

      x = Acos(ωt 0).     (5.3.1)  
и получим выражение для скорости              
υ= dx = d ( A cos( ωt0 ) )= − Aω sin ( ω t0 ) =      
dt      
dt             . (5.3.2)  
            π  
      0 +      
      = Aω cos ω t        
                   

 

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2. Амплитуда скорости равна Аω.

 

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, полу-чим выражение для ускорения

а = d υ = d ( − Aω sin ( ω t0 ) )= − Aω2 сos ( ω t0 ) =  
dt  
dt   . (5.3.3)  
      = Aω2 cos ( ω t0 + π)  

 


 
Рис. 5.3.1

x

+A 0

 

A

υx

 

A

 

 

−ωA

αx

 

2A 0

 

−ω2A


 

Как следует из уравнения (5.3.3), ус-корение и смещение находятся в противо-фазе. Это означает, что в тот момент вре-

t мени, когда смещение достигает наиболь-шего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отри-цательного значения, и наоборот. Ампли-

туда ускорения равна Аω2 (рис. 5.3.1).

 

t Из выражения (5.3.3) следует диффе-ренциальное уравнение гармонических ко-лебаний

  d 2 x  
t dt2 x = 0 , (5.3.4)

где x = A cos(ωt +α) .


 

Результирующая сила, действующая

 

на материальную точку массой m, определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

F = ma = − mAω2cos(ωt ) = − mω2 x . (5.3.5)
   

 

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения рав-новесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой. Таким образом, гармонические ко-лебания происходят под действием силы F, пропорциональной сме-щению x и направленной к положению равновесия,

 

F =−kx, (5.3.6)

 

где k = mω2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая за-висимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости

(5.3.6) называются квазиупругими силами.

 

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором. Ее динами-ческое поведение описывается дифференциальным уравнением


 


 
линейного ос-
F = ma = − mω2 x d 2 x 2 x = 0 , (5.3.7)  
  dt2      
         

ω0 − собственная частота осциллятора.

 

Решение этого уравнения дает закон движения циллятора x = A cos (ω t0 ).

 

5.4. Энергия гармонических коле-            
баний     a) П = mgl  
В процессе колебаний происходит      
     
t = 0 К = 0    
превращение кинетической энергии в по-    
       
тенциальную энергию и обратно (рис.       h  
5.4.1). В момент наибольшего отклонения        
           
от положения равновесия полная энергия            
состоит только из потенциальной энер- б) П = 0    
гии, которая достигает своего наиболь-       mυ2  
       
шего значения. Далее при движении к t = T/4 К =      
   
положению равновесия потенциальная          
энергия уменьшается, при этом кинети- υ        
ческая энергия возрастает. При прохож-            
дении через положение равновесия пол-            
ная энергия состоит лишь из кинетиче- в)          
ской энергии, которая в этот момент дос- t = T/2 П = mgl    
тигает своего наибольшего значения. Да-     К = 0      
лее при движении к точке наибольшего h        
отклонения происходит уменьшение ки-            
нетической и увеличение потенциальной Рис. 5.4.1      

энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана ну-лю. И т. д.

 

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические ко-лебания равна

 

П = kx2 = 1 = 1 ( ωt +ϕ ) = 1 t +ϕ ). (5.4.1)  
    mω x     kA cos   mω A cos  
                     
                         

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические ко-лебания равна


 


K= mυ2 = 1 mω2 A 2sin2 ( ω t0 ) = 1 kA 2sin2 t0 ). (5.4.2)
     

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, со-стоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определя-ется следующим образом

  E =K+ П = 1 kA 2sin2 t 0)+  
          . (5.4.3)
+ 1 kA 2cos2 ( ω t0 ) = 1 kA 2 = 1 mω2 A2  
         

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

 

  kx 2 mυ2   12 = const . (5.4.4)  
E = 2 + = 2 mω A    

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

 

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период ко-лебания

 

П = kA   cos ϕ = kA           =    
            cos   ϕdϕ    
                      0           . (5.4.5)  
        2π 1 + cos 2ϕ            
= kA = kA      
    2 π       d ϕ        
        0                      

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

K = 1 kA2 sin2 ϕ = 1 kA2. (5.4.6)
     

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изме-няются относительно своих средних значений по гармоническому за-

 

кону с частотой 2ω и амплитудой 14 kA2 .


 

5.5. Пружинный,


 





Дата добавления: 2016-11-02; просмотров: 375 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. May – мочь, иметь возможность; выражает разрешение
  2. V. Повторение пройденного материала. Решение задачи надо начать с построения графа отношения «дороже»
  3. V. Повторение пройденного материала. Это логическая задача. Перед выполнением этого задания учитель проводит с опорой на наглядность решение аналогичной ситуации
  4. а) обеспечивает оперативное решение любых вопросов;
  5. Аналитическое решение дифференциальных уравнений
  6. АС облегчает решение проблем ребенка
  7. Б) Напиши решение и ответ в правом столбце
  8. Б) Решение экспертных задач
  9. Билет № 5.3. Общесистемная модель объекта управления. Характеристика групп переменных. Управленческое решение с позиций модели. Проблема «выходных» переменных и пути ее решения
  10. Биполярный транзистор. Принцип действия. Уравнение токораспределения
  11. Бюджетная линия. Оптимум потребителя, угловое решение
  12. В заданиях 15-21 дайте полное обоснованное решение и ответ


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.007 с.