Теорема Штейнера. Правило аддитивности

 

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела I_z относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произве-дения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

 

Iz = Icz + md 2.

(4.6.1).

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относи-тельно данной оси:

 

n
I =∑ Ii или I =∫ dI.	(4.6.2)

i =1

 

ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Лекция № 6

 

4.7. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси.

 

4.8. Расчет моментов инерции.

 

4.9. Кинетическая энергия вращающегося тела.

4.10. Работа силы при вращении тела.

 

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси

 

Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно не-

 

подвижной оси Oz. Так как твердое тело можно представить как со-
z			вокупность материальных точек, то
		воспользуемся основным уравнени-
			ем динамики вращательного дви-
О 1			жения относительно точки (4.3.8).
r		υ i		dL	r
β i	Li					(4.7.1)
			= M e.
	α i	mi			dt
	Ri	Найдем		проекции	правой и
		левой части уравнения (4.7.1) на
	r r i		ось Оz:
				dLz	= M ze	.	(4.7.2)
					dt
α i			n		n	r	r
			Lz =∑ Lzi	= ∑(ri × mi	υ i) z. (4.7.3)
О			i =1		i =1
		Вектор		Li	перпендикулярен
Рис. 4.7.1
			радиус-вектору и образует с осью и

образует с осью Оz угол β _I = 90° − α _I. Поэтому проекция момента им-пульса материальной точки равна

 

L	= r m υ sin α	i	= m R υ = m R ω R = m R 2ω.	(4.7.4)
z i	i i i	i i ii iii i

 

Подставим правую часть уравнения (4.7.4) в (4.7.3)

 

n	n
Lz =∑ mi Ri 2ω= ω∑ mi Ri 2.	(4.7.5)
i =1	i =1

 

n

Используя ∑ m_i R_i ² = I _z, получим момент импульса твердого тела от-

 

i =1

 

носительно неподвижной оси Оz

 

				Lz =ω Iz.						(4.7.6)
Подставляя (4.7.6) в выражение (4.7.1)
		d (ω Iz)	= M ze	⇒ Iz	d ω		= M ze	(4.7.7)
				dt
			dt
и учитывая, что	d ω	=ε, получим основное уравнение динамики вра-
	dt
щательного движения относительно неподвижной оси
			I z ε = M ze	или	ε =	M e	(4.7.8)
					z .
								Iz

Угловое ускорение при вращении твердого тела относительно неподвижной оси прямо пропорционально результирующему моменту внешних сил относительно этой оси и обратно пропорционально мо-менту инерции тела относительно этой же оси.

 

Физический смысл момента инерции можно определить из вы-

 

ражения (4.7.8). Если сравнить с основным уравнением динамики по-ступательного движения (2.1.2), то можно увидеть что роль массы при вращательном движении выполняет момент инерции. Момент инер-

 

ции тела является мерой инерции тела при вращательном движении.

 

Если проекция моментов внешних сил относительно оси Оz равна нулю (например, система замкнута) M _z^e = 0, то получаем закон сохранения проекции момента импульса

dLz = d (ω Iz ) =0	⇒ L	= I	ω= const.	(4.7.9)
dt	dt	z	z

 

Если проекцию моментов внешних сил относительно оси z рав-на нулю, то момент импульса тела относительно этой оси с течением времени не будет изменяться.

 

Расчет моментов инерции

 

1) Момент инерции однородного полого цилиндра.

Определим момент инерции однородного полого цилиндра, внеш-ний радиус которого R ₂, а внутренний радиус R ₁, относительно оси

 

 

симметрии. Разобьем цилиндр на концентрические цилиндрические кольца толщиной dr. Все кольца находятся на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Если плотность вещества постоянна, то элементарная масса dm = ρ dV, где dV − объем бесконечно тонкого кольца радиусом r, толщиной dr и высотой h. Поскольку dV = (2π r) hdr, то dm = 2πρ rhdr.

z

Таким образом, момент инерции

R 1

r

получается

посредством

интегрирова-

dr

ния по всем кольцам:

R

R

R 2

I =∫ r 2 dm =∫22πρ hr 3 dr =2πρ h ∫2 r 3 dr =

R 1

R 1

R 4− R 4

1

= 2πρ h

=

πρ h (R 2

− R 1).

Поскольку (R 24 − R 14)= (R 22 − R 12)⋅ (R 22 + R 12),

то момент инерции равен

Рис. 4.8.1

I =

1

πρ h (

R 2

− R 1) ⋅ (R 2 + R 1).

Объем полого цилиндра V = Sh = π h (R ₂² − R ₁²), тогда его масса m =ρ V = πρ h (R ₂²− R ₁²).

 

Таким образом, момент инерции полого цилиндра
I = 1 m (R 22+ R 12).	(4.8.1)
2) Момент инерции тонкостенного цилиндра (обода). Исполь-
зуя формулу (4.8.1) и учитывая, что R 1 = R 2 = R, получим
I = mR 2.	(4.8.2)

3) Момент инерции однородного сплошного цилиндра (диска).

 

Используя формулу (4.8.1) и учитывая, что в этом случае R ₁ = 0 и R ₂ = = R, то момент инерции

I =	1 mR 2.	(4.8.3)

4) Момент инерции однородного шара.

 

Определим момент инерции однородного твердого шара ра-

 

 

диусом R, относительно оси, про-

z

ходящей через его центр. Разобьем

dy

шар на бесконечно малые цилинд-

ры высотой dy. Каждый такой ци-

r

линдр

имеет

радиус r =

R 2− y 2.

y

Тогда

массу

бесконечно

малого

O

R

цилиндра можем определить как

dm =ρ dV =ρ Sdy =π r 2ρ dy =

= πρ(R 2 − y 2) dy.

Следовательно, момент инер-

ции любого бесконечно малого ци-

Рис. 4.8.2

линдра можно записать в виде:

1

1

πρ (R

)

dI =2 r

dm =2

− y

dy =

= ¹ ₂ πρ (R ⁴ − 2 R ² y ² + y ⁴) dy.

 

Интегрируя по всем бесконечно малым цилиндрам, получим:

 

R

− 2 R 2 y 2

+ y 4) dy =

R

I =∫ dI =∫ 1 πρ(R 4

1

πρ ∫ (R 4 − 2 R 2 y 2 + y 4) dy ⇒

− R 2

− R

1

2

y 5

R

⇒ I =

πρ R

y −

R

y

+

=

πρ R

.

5

− R

Поскольку объем шара равен V =

4 π R 3

, то его масса m = ρ V =

4

=

πρ R 3. Таким образом, момент инерции шара будет равен

I =

2 mR 2

.

(4.8.4)

5) Момент инерции однородного стержня. Момент инерции стержня длиной l относительно оси проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине:

 

I =			ml 2.	(4.8.5)