Затухающие гармонические колебания

 

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы со-противления, действие которых приводит к уменьшению энергии сис-темы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это коле-бания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель-ной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вме-сте с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движе-ния, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

r	(5.6.1)
Fc = −μυ,

где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют про-

 

тивоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармо-нических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

 

ma =− kx − r υ.

(5.6.2)

 

Учитывая, что a = ^{d 2 x}, а υ= ^dx, и разделив на массу m, получим dt ² dt

 

d 2 x	+	r dx	+		k	x	= 0.
dt 2
m dt		m
Применив обозначения	k	= ω2	и	μ	= 2β получим
		m					m
d 2 x	+ 2β	dx				= 0 −
		+ω x
dt 2					dt

 

(5.6.3)

 

(5.6.4)

дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Отметим,что

 

ω₀ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свобод-

 

ные колебания системы в отсутствие сопротивления среды. Эта часто-

 

та называется собственной частотой.

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

 

x = z ⋅ e −β t.

(5.6.5).

Проведем замену переменных

dx

= −β z

⋅ e −β t + dz e −β t

и

dt

dt

d 2 x

d

−β t

dz

−β t

−β t

dz

−β t

d 2 z

−β t

=

−β z

⋅ e

+

e

=β

z ⋅ e

− 2β

⋅ e

+

2 e

. (5.6.6)

dt

dt

dt

dt

dt

Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)

−β t

−

2β

dz

−β t

+

d 2 z

−β t

−β t

+

dz

−β t

−β t

=0. (5.6.7)

β z

⋅ e

dt

⋅ e

dt

e

+ 2β −β z ⋅ e

dt

e

+ω0 z ⋅ e

Преобразуем, сократив на e −β t

− 2β

dz

+

d 2 z

−β z +

dz

= 0

⇒

d 2 z

) z

= 0. (5.6.8)

β z

dt

dt

+ 2β

dt

+ω0 z

dt

+ (ω0

−β

Рассмотрим случай, когда сопротивление среды настолько мало,

что ω 2

−β 2

> 0

есть величина по-

x

x = A 0 e −β t

cos(ω t +ϕ)

ложительная, и мы можем ввести A 0

обозначение ω2 −β 2 = ω2, после че-

A (t)= A e −β t

го уравнение (5.6.8) принимает вид

d 2 z

+ω2 z = 0. (5.6.9)

t

dt

T

В случае большого сопро-

тивления

среды

ω2

−β 2 < 0,

дви-

жение

становится

непериодиче-

Рис. 5.6.1

ским.

Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде

z = A 0cos(ω t +ϕ).

(5.6.10)

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения зату-

 

хающих колебаний (5.6.4)

x = A e −β t cos(ω t +ϕ)

или

x = A (t)cos(ω t +ϕ).

(5.6.11)

В соответствии с видом полученной функции движение можно

рассматривать как гармоническое колебание с частотой

μ 2

,

(5.6.12)

ω=

ω0

−β

=

ω0

−

2 m

периодом

T = 2π

=

2 π

=

2π

(5.6.13)

ω

ω02 −β2

μ

2

ω0

−

2 m

и амплитудой, изменяющейся по закону

A (t)

= A e −β t.

(5.6.14)

На рисунке показан график данной функции. Пунктирными ли-ниями показаны пределы, в которых находится смещение колеблю-щейся точки. Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A (t),причем величина A ₀представляет собой амплитуду в начальныймомент времени. Начальное смещение зависит от A ₀ и также от на-чальной фазы ϕ, т. е. x ₀ = A ₀ cos ϕ.