Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания

_dt = − A ω sin (ω t +ϕ);

= − A ω cos(ω t

Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)

− A ω² cos(ω t +ϕ) − 2β A ω sin(ω t +ϕ) +ω² A cos(ω t +ϕ) = f

cosω t. (5.8.6)

(A ω₀² − A ω²) cos(ω t +ϕ) − 2β A ω sin (ω t +ϕ) = f ₀ cos ω t.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

=	A (t)	= e ^β ^T	(5.7.1)
A (t + T)

и называется декрементом затухания.

Для характеристики колебательной системы обычно использу-

ется логарифмический декремент затухания, т. е. логарифм декре-

мента затухания

δ = ln = ln	A (t)	=β T.	(5.7.2)
A (t + T)

Скорость затухания колебаний определяется величиной называ-

ем коэффициентом затухания β = ₂^μ _m.

Найдем время, называемое временем релаксации τ, за которое амплитуда уменьшается в e раз

	A (t)	= e ⇒	A ₀ e ^−β ^t		= e ^βτ = e ¹	⇒ βτ = 1 ⇒ τ =	1	.(5.7.3)
	A (t + τ)	_A ₀ _e −β(t +τ)	β

Следовательно,
				β=	1	,			(5.7.4)
						τ

т. е. коэффициент затухания обратен по величине промежутку време-ни, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

За время релаксации τ система успевает совершить N_e = _T ^τ ко-

лебаний

	N_e =	τ	=	τβ	=	1 _.	(5.7.5)
	T	δ
					δ
Следовательно, δ =		логарифмический декремент затухания

	N_e

обратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы используется ве-личина

Q =	π	= π N_e,	(5.7.6)
	δ

которая называется добротностью колебательной системы.

Величина Q, пропорциональная числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний умень-шается в е раз.

Вынужденные колебания

До сих пор мы рассматривали свободные колебания, когда вы-веденная из положения равновесия система совершает колебания бу-дучи предоставленной самой себе. Рассмотрим колебательную систе-

му, которая подвергается действию внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону F = F ₀ cos ω t. Колебания, возникающие под

действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями. В этом случае уравнение второго законаНьютона имеет вид

ma = − kx − μυ+ F ₀cosω t.

(5.8.1)

Учитывая, что a =

d ² x

, а υ=

и разделив на массу m, получим

d ² x

μ dx

cos ω t.

dt ²

(5.8.2)

m dt

Применив обозначения

= ω²,

= 2β и

F ₀

= f

получим

d ² x

+ 2β

= f

cos ω t

−

(5.8.3)

+ω x

dt ²

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде

x = A cos(ω t +ϕ)

(5.8.4)

предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с час-тотой внешней вынуждающей силы.

cos (ω t +ϕ) = cos ω t cos ϕ − sin ω t sin ϕ; sin (ω t +ϕ) = cos ω t sin ϕ+ sin ω t cos ϕ ^.

(A ω₀² − A ω²) (cos ω t cos ϕ − sin ω t sin ϕ) − −2β A ω (cos ω t sin ϕ+ sin ω t cos ϕ) = f ₀ cos ω t

(5.8.8)

(5.8.9)

Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, что-бы коэффициенты при cos ω t и sin ω t были равны нулю.

(A ω₀² − A ω²) cos ϕ − 2β A ω sin ϕ= f ₀

(5.8.10)

− (A ω₀² − A ω²) sin ϕ − 2β A ω cos ϕ= 0

Из выражения (71) получаем

tg ϕ= −

2βω

(5.8.11)

ω − ω

Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим

(A ω₀² − A ω²) ² + (2β A ω) ² = f ₀².

(5.8.12)

)

⁽

ω₀

− ω

4β

= f ₀

⇒

f ₀²

⇒

(ω₀² − ω²) ² + 4β ² ω²

⇒ A =

^f 0

(5.8.13)

ω − ω

+ 4β

Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64)

получим уравнение вынужденных колебаний

x =

f ₀

ω t − arctg

2βω

. (5.8.14)

cos

_ω2

− ω²

^ω0

− ω

+ 4β

5.9. Резонанс

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте ам-плитуда колебаний достигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных коле-баний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы называется резонансом, а соответствующая частота − резонансной частотой.

Найдем резонансную частоту. Амплитуда вынужденных коле-баний будет max, когда выражение (ω₀² − ω²) ² + 4β ² ω² в уравнении

A = f ₀ (5.8.13) будет минимальным.

(ω₀² − ω²)² + 4β ² ω²

Продифференцируем это выражение по ω и приравняем к нулю

d 2 2

(^ω0 − ω) + 4β ω = 0 ⇒ −2 (ω₀ − ω) 2ω+ 8β ω= 0 ⇒

d ω . (5.9.1)

⇒ ω −ω₀² +ω² + 2β ² = 0

Полученное уравнение имеет три решения: ω= 0 и ω= ± ω₀² − 2β². Первое решение соответствует максимуму знамена-

теля. Из остальных двух решений отрицательное не имеет физическо-го смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, ре-зонансная циклическая частота

ω = ω² − 2β². (5.9.2)

рез

Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе

^A рез ⁼ f ₀ . (5.9.3)

2β ω² −β²

Из последнего уравнения (5.9.3) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бес-конечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же усло-виях (при β = 0), совпадала бы с собственной частотой колебаний сис-темы ω₀.

ω_рез =ω₀. (5.9.4)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы показана графически на рис. 5.9.1. В соответст-вии с (5.9.2) и (5.9.3), чем меньше параметр β, тем выше и правее ле-жит максимум данной кривой. Изображенная на рис. 5.9.1 совокуп-ность графиков функций (5.8.13), соответствующих различным значе-ниям параметра β, называется резонансными кривыми.

При стремлении А

ω к нулю все кривые β₁ < β₂ < β₃

приходят к одному и

тому же, отличному от

нуля, предельному зна- β₁

чению, равному f ω².

β₂

Это значение представ-

ляет собой смещение из β₃

положения равновесия,

которое получает сис- ^f 0

тема под действием по-

стоянной силы величи- ω₀² ω₀ ω

ны F ₀. стремлении Рис. 5.9.1

При

ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направ-ление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Наконец, отметим, что чем меньше β, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается

максимум. При малом затухании (т. е. β<< ω₀) амплитуда при резо-нансе приближенно равна A _рез ≈ f ₀ 2βω₀. Разделим это выражение на смещение х ₀ из положения равновесия под действием постоянной

силы F ₀ , равное x = f ω² . В результате получим

^A рез f ω² ω 2π π = Q,

= = = = (5.9.5)

x 2βω f 2β T δ

2β

где δ = β Т – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – доб-ротность колебательной системы (5.7.6).

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз ам-плитуда в момент резонанса превышает смещение системы из поло-жения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это спра-ведливо лишь при небольшом затухании.