Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки

 

Рассмотрим систему материальных точек массами m ₁, m ₂, …, m_n движущихся со скоростями υ₁, υ₂, …, υ _n. Пусть на каждую из этих

 

точек действуют: равнодействующие внутренних сил F ^r₁ ⁱ, F ^r₂ ⁱ, …, F_nⁱ,

и равнодействующие внешних сил F e, F e, …, F e.

n

Запишем уравнения движения частиц:

m

d υ r

r e

r i

, …

m

d υ

n

r e

r i

.

(4.3.3)

= F

+ F

dt

= F

+ F

dt

n

n

n

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствую-щий радиус-вектор и получим

 

r

r e

r i

m

r

×

d υ

r

r

,

r

= r

× F

+ r

× F

dt

1

1

………..,

r

r e

r i

r

d υ

n

r

r

m

r

×

= r

× F

+ r

× F

.

n

n

dt

n

n

n

n

Преобразуем данные уравнения

 

_dt^d [ r ^r₁ × m ₁υ^r₁ ] = r ^r₁ × F ^r₁ ^e + r ^r₁ × F ^r₁ ⁱ, _dt^d [ r ^r _n × m_n υ^r _n ] = r ^r _n × F ^r _n^e + r ^r _n × F ^{r i}_n.

Сложим эти уравнения и получим

d

n

r

r

n

r

r e

n

r

r i

∑ [ ri

× mi υ i ] = ∑ ri

× Fi

+ ∑ ri

× Fi

.

dt i =1

i =1

i =1

 

 

(4.3.4)

 

 

(4.3.5)

 

 

(4.3.6)

В последнем уравнении:

n	r	r	] =	dL	− есть момент импульса системы,
∑[ ri	× mi υ i	dt
i =1
n	r	r		n	r		− сумма моментов внутренних сил,
∑ ri	× Fi i	= ∑ Mii
i =1			i =1
n	r	r		n	r		− сумма моментов внешних сил.
∑ ri	× Fi e	= ∑ Mie
i =1			i =1
		Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде
							dL	n r i	n r e	(4.3.7)
							dt	= ∑ M i	+ ∑ Mi.
							i =1	i =1

 

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновеши-вают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой

n r

системы всегда равна нулю, т. е. ∑ M_iⁱ = 0, получим основное уравне-

 

i =1

 

ние динамики вращательного движения относительно точки (илииначе закон изменения момента импульса механической системы)

dL	n	r e	(4.3.8)
dt	= ∑ Mi.
i =1

 

Производная по времени от момента импульса системы относи-тельно точки равна сумме моментов внешних сил относительно этой точки.

 

Закон сохранения момента импульса

		n	r
Если момент внешних сил ∑ Miе = 0, то получим
	dL r	i =1
	= 0 или	L = const	(4.4.1)
	dt

 

закон сохранения момента импульса.

 

Если момент внешних сил действующих на механическую сис-тему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изме-няется.

 

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент им-пульса − аналогом импульса.

 

Законы изменения и сохранения момента импульса механиче-ской системы можно применить и к вращательному движению твер-дого тела.

 

Момент инерции

 

Моментом инерции твердого тела относительно данной осиназывается физическая величина, являющаяся мерой инертности те-ла во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме про-изведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

 

n

∑ m_i R_i ² = I _z. (4.5.1)

 

i =1

 

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [ I ] = 1 кг · м².

 

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое те-ло, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает опреде-ленным моментом инерции относительно любой оси.

 

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) сле-дует заменить на интегрирование:

 

 

Iz =∫ R 2 dm =∫ρ R 2 dV,

(4.5.2)

 

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.