Рассмотрим систему материальных точек массами m 1, m 2, …, mn движущихся со скоростями υ1, υ2, …, υ n. Пусть на каждую из этих
точек действуют: равнодействующие внутренних сил F r1 i, F r2 i, …, Fni,
| и равнодействующие внешних сил F e, F e, …, F e. | ||||||||||||
| n | ||||||||||||
| Запишем уравнения движения частиц: | ||||||||||||
| m | d υ r | r e | r i | , … | m | d υ | n | r e | r i | . | (4.3.3) | |
| = F | + F | dt | = F | + F | ||||||||
| dt | n | n | n |
Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствую-щий радиус-вектор и получим
| r | r e | r i | |||||||||||||||
| m | r | × | d υ | r | r | , | |||||||||||
| r | = r | × F | + r | × F | |||||||||||||
| dt | 1 | 1 | |||||||||||||||
| ……….., | |||||||||||||||||
| r | r e | r i | |||||||||||||||
| r | d υ | n | r | r | |||||||||||||
| m | r | × | = r | × F | + r | × F | . | ||||||||||
| n | n | dt | n | n | n | n | |||||||||||
Преобразуем данные уравнения
dtd [ r r1 × m 1υr1 ] = r r1 × F r1 e + r r1 × F r1 i, dtd [ r r n × mn υr n ] = r r n × F r ne + r r n × F r in.
Сложим эти уравнения и получим
| d | n | r | r | n | r | r e | n | r | r i | |||
| ∑ [ ri | × mi υ i ] = ∑ ri | × Fi | + ∑ ri | × Fi | . | |||||||
| dt i =1 | i =1 | i =1 |
(4.3.4)
(4.3.5)
(4.3.6)
В последнем уравнении:
| n | r | r | ] = | dL | − есть момент импульса системы, | ||||||
| ∑[ ri | × mi υ i | dt | |||||||||
| i =1 | |||||||||||
| n | r | r | n | r | − сумма моментов внутренних сил, | ||||||
| ∑ ri | × Fi i | = ∑ Mii | |||||||||
| i =1 | i =1 | ||||||||||
| n | r | r | n | r | − сумма моментов внешних сил. | ||||||
| ∑ ri | × Fi e | = ∑ Mie | |||||||||
| i =1 | i =1 | ||||||||||
| Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде | |||||||||||
| dL | n r i | n r e | (4.3.7) | ||||||||
| dt | = ∑ M i | + ∑ Mi. | |||||||||
| i =1 | i =1 |
Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновеши-вают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой
n r
системы всегда равна нулю, т. е. ∑ Mii = 0, получим основное уравне-
i =1
ние динамики вращательного движения относительно точки (илииначе закон изменения момента импульса механической системы)
| dL | n | r e | (4.3.8) | |
| dt | = ∑ Mi. | |||
| i =1 |
Производная по времени от момента импульса системы относи-тельно точки равна сумме моментов внешних сил относительно этой точки.
Закон сохранения момента импульса
| n | r | ||||
| Если момент внешних сил ∑ Miе = 0, то получим | |||||
| dL r | i =1 | ||||
| = 0 или | L = const | (4.4.1) | |||
| dt | |||||
закон сохранения момента импульса.
Если момент внешних сил действующих на механическую сис-тему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изме-няется.
Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент им-пульса − аналогом импульса.
Законы изменения и сохранения момента импульса механиче-ской системы можно применить и к вращательному движению твер-дого тела.
Момент инерции
Моментом инерции твердого тела относительно данной осиназывается физическая величина, являющаяся мерой инертности те-ла во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме про-изведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:
n
∑ mi Ri 2 = I z. (4.5.1)
i =1
Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [ I ] = 1 кг · м2.
Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое те-ло, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает опреде-ленным моментом инерции относительно любой оси.
Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) сле-дует заменить на интегрирование:
| Iz =∫ R 2 dm =∫ρ R 2 dV, | (4.5.2) |
где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.
