Математический и физический маятники

 

 

F ^r_упр

m

 

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармони-ческие колебания.

1) Пружинный маятник − это матери-

 

^υr _F r_упр

 

 

							x
			Рис. 5.5.1

 

альная точка массой m, подвешенная (или

 

 

Рис. 5.5.2

расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жест-костью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m, прикрепленная к пружине, со-вершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Oх F _упр = ma. Упругая сила F _упр = − kx. Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

ma =− kx	или	m	d	2 x	= − kx.	(5.5.1)
dt 2
Отсюда
d 2 x	+	k	x =0.			(5.5.2)
dt 2	m

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

 

ω2	=	k	⇒ ω =	k	.	(5.5.3)
		m		m

Так как период колебаний определяется по формуле T = ^2π, то период

ω₀

 

колебаний пружинного маятника

T =2π m.	(5.5.4)
k
2) Математический маятник − это идеализированная система,
состоящая из невесомой и нерастяжимой	r
нити, на которой подвешена материальная	M
O
точка массой m. Отклонение маятника от
положения равновесия будем характеризо-	ω
вать углом ϕ, образованным нитью с верти-
калью.	ϕ
При отклонении маятника от положе-	l
ния равновесия возникает вращательный
r
момент M, равный по величине mgl sinϕ.
Он имеет такое же направление, что стре-	l sinϕ
мится вернуть маятник в положение равно-
	mg r

весия.	Следовательно,		выражение	M	для
вращательного	момента	имеет	вид:	=

= − mgl sinϕ. Применим основное уравнение динамики вращательного движения

 

M = I ε,

(5.5.5)

 

где I = ml ² − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая,

что угловое ускорение	ε =	d 2ϕ	, получим
dt 2
ml 2 d 2ϕ	= − mgl sin ϕ	⇒	d 2ϕ	+	g	sin ϕ= 0.	(5.5.6)
dt 2
dt 2							l
Если рассматривать малые колебания, то sin ϕ ≈ϕ. Получим
d 2ϕ	+	g	ϕ= 0 ⇒	d 2ϕ
				+ω ϕ= 0.	(5.5.7)
dt 2		l			dt 2

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математиче-ского маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

 

ω2	=	g	⇒	ω =	g	.	(5.5.8)
		l		l
Период колебаний математического маятника
		T =2π	l	.			(5.5.9)
				g

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, прохо-

r		дящей через точку, не совпадающую с цен-
N		тром масс тела. При отклонении маятника
h
	от положения равновесия на угол ϕ возни-
O
α l		кает вращательный момент, стремящийся
	вернуть маятник в положение равновесия.
	C	Этот момент равен M = − mgl sinϕ.
r	Согласно основному уравнению ди-
O ′	намики вращательного движения получаем
F
r
	p

Рис. 5.5.3 ₅₂

I ε= M ⇒	I	d 2ϕ	= − mgl sin ϕ, (5.5.10)
dt

 

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей че-рез точку подвеса.

 

Если рассматривать малые колебания, то sin ϕ ≈ϕ. Получим

 

d 2ϕ	+	mgl	ϕ= 0	⇒	d 2ϕ 2	(5.5.11)
			+ω ϕ= 0.
dt 2		I			dt 2

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

ω2

= mgl ⇒ω = mgl .

(5.5.12)

I

I

Период колебаний математического маятника

T =2π

I

.

(5.5.13)

mgl

Из сопоставления формул периодов колебаний математического

и физического маятников T = 2 π

l

и T = 2 π

I

получается, что

g

mgl

математический маятник с длиной

l

=

I

.

(5.5.14)

пр

ml

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

 

Величина l _пр (отрезок OO ′) называется приведенной длиной фи-зического маятника −это длина такого математического маятника,период колебаний которого совпадает с периодом данного физиче-ского маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с цен-тром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вра-щения, называется центром качания (О ′) физического маятника. Точ-ка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса ста-новится новым центром качания.