Применение МКЭ для расчета стержневых систем

 

Расчет стержневых систем с помощью МКЭ приводит к тем же уравнениям, что и обычный метод перемещений, хотя подходы к их построению немного отличаются по форме.

При этом КЭ рамы с 6-ю степенями свободы имеет на концах два узла, в каждом из которых введено по три связи – две линейных и одной моментной.

Его матрица жесткости имеет 6-й порядок, а ее элементами являются реакции r_ij в шести введенных связях от единичных смещений этих связей.

Компонентами вектора приведеннойузловой нагрузки являются взятые со знаком минус реакции во введенных связях от приложенной к КЭ нагрузки, которые, в отличие от МП, будем обозначать не R_ip ⁰, а r_ip ⁰:

 

{ P _э}= – [ r _{1 p} ⁰, r _{2 p} ⁰, …, r _{6 p} ⁰]^Т,

 

где индексом «т» обозначена операция транспонирования.

Балочный конечный элемент, на примере которого мы рассмотрим процедуру анализа, имеет только четыре степени свободы. В качестве неизвестных такого КЭ выбирают неизвестные прогибы и углы поворотов в начальном и конечном сечениях, как и в обычном методе перемещений (рис. 7.1, а).

Анализ КЭ заключается в определении реакций во введенных связях { S _э}= [ S ₁, S ₂, S ₃, S ₄]^Т от кинематических воздействий { Z _э}= [ Z ₁, Z ₂, Z ₃, Z ₄]^Т и от действующей местной нагрузки. Первая зависимость имеет вид:

 

{ S _э} = [ R _э]{ Z _э}.

 

Для построения матрицы жесткости [ R _э] рассмотрим КЭ при единичных кинематических воздействиях (рис. 7.1, б), объединив соответствующие им функции формы в матрицу-строку:

 

[ N ] = [ N ₁(x), N ₂(x), N ₃(x), N ₄(x)].

 

Этим функциям формы соответствуют уже известные эпюры моментов, приведенные на рис. 6.4 и 7.1, в, которые также объединим в вектор:

 

{ M } = [ M ₁(x), M ₂(x), M ₃(x), M ₄(x)]^Т.

 

Учитывая, что для принятой системы координат зависимость между изгибающими моментами и прогибами имеет вид:

 

M (x) = – EJ v'' (x),

 

можно записать:

 

{ M } = – EJ [ N'' ]^Т. (7.2)

 

Воспользовавшись соотношением (6.4):

 

r_ij = r_ji = Sò(`M<sub>i</sub> <sup>0</sup> · `M_j ⁰/ EJ) ds,

 

получим с учетом (7.2):

 

[ R _э] = (1/ EJ) ∫{ M }{ M }^Т dx = EJ ∫ [ N'' ]^Т[ N'' ] dx. (7.3)

 

Для построения вектора приведеннойузловой нагрузки учтем, что на основании принципа суперпозиции уравнение изогнутой оси КЭ можно представить в виде:

 

v (x) = Σ N_i (x) · Z_i = [ N ]{ Z _э}.

(7.4)

 

z3 = 1

z1 =1

z4 =1

z2 =1

 

Рис. 7.1

Поэтому, дополнив соотношение (6.5) работой распределенной нагрузки, приложенной к КЭ, и сменив обозначения, получим:

 

r_ip ⁰ = – [S P_k · N_ik + ∫ q (x) · N_i (x) dx ].

 

Таким образом, искомый вектор приведеннойузловой нагрузки равен:

 

{ P _э}= S P_k ·[ N_k ]^Т + ∫ q (x) [ N ]^Т dx. (7.5)

Как видим, анализ КЭ сводится в конечном итоге к построению матрицы функций формы. Помимо методов, упомянутых в параграфе 6.3, эти функции можно, например, построить следующим способом.

Представим уравнение изогнутой оси КЭ в виде полинома:

 

v (x) = [ H ] { a }, (7.6)

 

где [ H ] = [1, x, x ², x ³], а { a } = [ a ₁, a ₁, a ₁, a ₁]^Т.

 

Приравнивая (7.4) и (7.6) в узловых точках КЭ, то есть при x ₁ = 0 и x ₂ = l, получим:

Z ₁ = v (0) = 1 + a ₁ x ₁ + a ₂ x ₁² + a ₃ x ₁³;

Z ₂ = v' (0) = a ₁ + 2 a ₂ x ₁ + 3 a ₃ x ₁²;

Z ₃ = v (l) = 1 + a ₁ x ₂ + a ₂ x ₂² + a ₃ x ₂³;

Z ₄ = v' (l) = a ₁ + 2 a ₂ x ₂ + 3 a ₃ x ₂²,

 

или иначе

 

{ Z _э} = [ L ] { a },

 

где [ L ] = [[ H (x ₁)]^T, [ H' (x ₁)]^T, [ H (x ₂)]^T, [ H' (x ₂)]^T]^Т.

 

Обратная зависимость

 

{ a } = [ L ]^–1{ Z _э}

 

после подстановки в (7.6) приводит с учетом (7.4) к искомой формуле:

 

[ N ] = [ H ] [ L ]^–1. (7.7)

 

В скалярной форме последняя зависимость имеет вид:

 

N ₁(x) = 1 – 3ξ² + 2 ξ³;

N ₂(x) = l (ξ – 2 ξ² + ξ³);

N ₃(x) = 1 – 3η ² + 2η ³;

N ₄(x) = l (– η + 2η ² – η ³),

 

где ξ = x / l, η = (l – x)/ l.

Подставляя (7.7) в (7.3), получим искомую матрицу жесткости КЭ балки:

 

[ R _э] = EJ ∫ [ N¢¢ ]^T×[ N¢¢ ] dx = (EJ / l) .

 

Вектор приведенной узловой нагрузки находим по формуле (7.5). Для постоянной равномерно распределенной нагрузки q (x) = q он имеет вид:

 

{ P _э} = [ P ₁, P ₂, P ₃, P ₄]^Т = (ql /12)[ 6, l, 6, – l ]^Т.

 

Примечание

Двумерным аналогом балочного КЭ является прямоугольный КЭ с 12-ю степенями свободы для расчета плит, изогнутая поверхность которого аппроксимируют полиномом

 

w (x, y) = [ H ]{ a },

 

где [ H ]= [1, x, y, x ², xy, y ², x ³, x ² y, xy ², y ³, x ³ y, xy ³].

В каждой из четырех узловых точек такого КЭ, расположенных в его вершинах, вводят по три связи: линейную, препятствующую вертикальным перемещениям в направлении оси Oz, и две моментные – в направлениях осей Ox и Oy.

Этот элемент, как показали проведенные исследования, можно с успехом применять даже для расчета цилиндрических оболочек, если дополнительно ввести по две линейные связи в каждом узле, препятствующие его смещениям вдоль осей Ox и Oy локальной системы координат.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Кулагин Ю.М., Маковкин Г.А. Определение внутренних сил в стержнях: Учебное пособие / Ю.М.Кулагин, Г.А.Маковкин. – Н.Новгород: Изд-во ННГАСУ, 2002. – 84с.

2. Куликов И.С. Расчет конструкций на деформируемом основании: учеб. пособие / И.С. Куликов. – Горький: Изд-во ГИСИ им. В.П.Чкалова, 1986. – 72 с.

3. Куликов И.С. Статика твердого тела: учеб. пособие / И.С. Куликов, Г.А. Маковкин. – Н. Новгород: Изд-во ННГАСУ, 2008. – 72 с.

4. Куликов И.С. Статика деформируемого тела: учеб. пособие / И.С. Куликов. – Н. Новгород: Изд-во ННГАСУ, 2008. – 64 с.

5. Куликов И.С., Лампси Б.Б. Статика сооружений: учеб. пос. для вузов (рук. в электр. виде) /И.С. Куликов, Б.Б. Лампси; Нижегород. гос. архитект. - строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2013. – 99 с.

6. Куликов И.С., Трянина Н.Ю. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.С. Куликов, Н.Ю. Трянина. – Н.Новгород: Изд-во ННГАСУ, 2002. – 84с.

7. Куликов И.С., Трянина Н.Ю. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие 2-е изд. перер. и доп. /И.С. Куликов, Н.Ю. Трянина.– Н.Новгород: Изд-во ННГАСУ, 2008. – 69 с.

8. Куликов И.С., Маковкин Г.А. Динамика механических систем: Учеб. пособие. – Н.Новгород, Нижегород. гос. архитект. - строит. ун-т, 2013г. – 147 с.

9. Масленников А.М. Основы строительной механики для архитекторов: учеб. пособие / А.М.Масленников, А.Г.Егоян. – Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1988. – 264 с.

10. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.В. Мещерский. - М.: Наука, 1986. - 448 с.

11. Михайлов А.М. Сопротивление материалов / А.М.Михайлов. – М.: Стройиздат, 1989. – 352с.

12. Оксанович Л.В. Невидимый конфликт / Л.В.Оксанович. – М.: Стройиздат, 1981. – 191с.

13. Розин Л.А. Расчет статически определимых стержневых систем: учеб. пособие / Л.А.Розин, И.А.Константинов, В.А.Смелов. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1983. - 228 с.

14. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб. пособие / под ред. А.А.Яблонского. – М.: Высш.шк., 1985. – 367 с.

15. Сборник задач по сопротивлению материалов / Под ред. В.К.Качурина. М.: Высш.шк.,1972. – 432с.

16. Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. Строительная механика: учебник для вузов / В.А.Смирнов, С.А.Иванов, М.А.Тихонов. - М.: Стройиздат, 1984. - 208 с.

17. Тарг С.М.. Краткий курс теоретической механики. Учебник для вузов/С.М.Тарг. - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1986. - 478 с.

18. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. ч.I. Статика. Кинематика. Учебник. Изд. 4-е, перераб. и посл. издания./ А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. - М.: Высшая школа, 1971. - 424 с.

19. Rakowski G. Komputerowa mechanika konstrukcji / G. Rakowski. –Warszawa: Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, 1977. – 279 с.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие........................................................................................................ 3

 

Раздел I. Статика твердого тела..................................................... 4

 

Глава 1. Введение.............................................................................................. 6

1.1. Предмет механики и ее задачи........................................................... 6

1.2. Предмет теоретической механики...................................................... 7

1.3. Основные понятия статики................................................................. 8

1.4. Аксиомы статики................................................................................. 9

1.5. Простейшие типы связей……………………………………………….12

Глава 2. Система сходящихся сил………………………………………………16

2.1. Определение и теорема о трех силах…………………………………..16

2.2. Графическое определение равнодействующей……………………….17

2.3. Аналитическое задание силы…………………………………………..18

2.4. Аналитическое определение равнодействующей…………………….20

2.5. Условия и уравнения равновесия системы сходящихся сил…………20

2.6. Решение задач…………………………………………………………...21

Глава 3. Теория пар сил………………………………………………………… 25

3.1. Момент силы относительно центра……………………………………25

3.2. Пара сил и ее свойства………………………………………………….27

3.3. Теоремы об эквивалентности пар……………………………………...28

3.4. Сложение пар сил……………………………………………………….32

3.5. Равновесие систем пар………………………………………………….34

Глава 4. Приведение плоской системы сил……………………………………36

4.1. Лемма Пуансо…………………………………………………………...36

4.2. Теорема о приведении плоской системы сил…………………………37

4.3. Частные случаи приведения плоской системы сил…………………...38

4.4. Уравновешенная система сил…………………………………………..39

Глава 5. Определение опорных реакций плоских стержневых систем……42

5.1. Система параллельных сил……………………………………………..42

5.2. Произвольная плоская система сил……………………………………45

5.3. Расчет составных систем……………………………………………….50

5.4. Графическое определение опорных реакций………………………….55

Глава 6. Пространственная система сил ………………………………………58

6.1. Момент силы относительно точки и оси………………………………58

6.2. Приведение пространственной системы сил………………………….60

6.3. Уравнения равновесия пространственной системы сил……………...61

Глава 7. Приведение параллельных сил ………………………………………63

7.1. Приведение двух параллельных сил…………………………………...63

7.2. Центр системы параллельных сил…………………………………….65

Глава 8. Центр тяжести твердого тела ………………………………………...67

8.1. Центр тяжести однородного тела……………………………………...67

8.2. Методы определения положения центра тяжести …………………...68

8.3. Центры тяжести простейших фигур…………………………………...71

 

Раздел I. Статика деформируемого тела................................... 73

 

Глава 1. Введение........................................................................................... 74

1.1. Предмет сопротивления материалов и его задачи.......................... 74

1.2. Расчетная схема и классификация систем........................................ 74

1.3. Нагрузки и воздействия.................................................................... 76

1.4. Гипотезы сопротивления материалов.............................................. 78

1.5. Метод сечений. Напряжения............................................................ 80

1.6. Внутренние усилия в брусе. Виды НДС.......................................... 82

Глава 2. Центральное растяжение и сжатие............................................... 85

2.1. Напряжения и деформации.............................................................. 85

2.2. Закон Гука. Коэффициент Пуассона................................................ 87

2.3. Механические испытания материалов............................................. 88

2.4. Расчет на прочность......................................................................... 90

Глава 3. Прямой изгиб.................................................................................. 92

3.1. Внутренние усилия в балке.............................................................. 92

3.2. Теорема Журавского........................................................................ 93

3.3. Построение эпюр Q и М................................................................... 94

3.4. Примеры построения эпюр.............................................................. 96

Глава 4. Геометрические характеристики сечений.................................. 102

4.1. Статические моменты сечения........................................................ 102

4.2. Моменты инерции сечения............................................................. 103

4.3. Моменты инерции относительно параллельных осей................... 104

4.4. Моменты инерции простых сечений.............................................. 104

Глава 5. Нормальные напряжения при изгибе........................................ 107

5.1. Предпосылки расчета..................................................................... 107

5.2. Перемещения и деформации.......................................................... 108

5.3. Нормальные напряжения............................................................... 110

5.4. Рациональные сечения балок......................................................... 111

Глава 6. Касательные напряжения при изгибе........................................ 113

6.1. Предпосылки расчета..................................................................... 113

6.2. Формула Журавского..................................................................... 115

6.3. Касательные напряжения в балках................................................ 117

Глава 7. Расчет балок на прочность.......................................................... 119

Глава 8. Определение перемещений при изгибе балок........................... 121

8.1. Дифференциальные зависимости при изгибе................................ 121

8.2. Краевая задача изгиба балки......................................................... 123

8.3. Метод начальных параметров....................................................... 124

8.4. Примеры расчета............................................................................ 126

8.5. Расчет балок на жесткость.............................................................. 130

Глава 9. Понятие о деформации сдвига.................................................... 131

Глава 10. Сложное сопротивление............................................................ 133

10.1. Косой изгиб................................................................................... 133

10.2. Прямой изгиб с ЦРС..................................................................... 135

10.3. Внецентренное сжатие бруса большой жесткости...................... 137

Глава 11. Устойчивость сжатых стержней............................................... 140

11.1. Понятие об устойчивости равновесия упругих тел..................... 140

11.2. Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня........ 141

11.3. Критическое напряжение и гибкость стержня............................. 143

Раздел III. Статика сооружений................................................... 147

 

Глава 1. Введение......................................................................................... 148

1.1. Предмет строительной механики и ее задачи................................ 148

1.2. Кинематический анализ сооружений............................................. 149

1.3. Основные уравнения строительной механики............................... 162

Глава 2. Расчет статически определимых стержневых систем.............. 165

2.1. Свойства статически определимых систем.................................... 165

2.2. Внутренние усилия в рамах........................................................... 165

2.3. Расчет плоских ферм...................................................................... 175

2.4. Расчет трехшарнирных арок......................................................... 180

Глава 3. Определение перемещений в СОС.............................................. 184

3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу................................... 184

3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу..................... 186

3.3. Общие теоремы строительной механики....................................... 188

3.3. Общие теоремы строительной механики....................................... 188

3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы.................. 192

3.5. Интеграл Мора-Максвелла............................................................ 194

3.6. Формула Верещагина..................................................................... 195

3.7. Примеры определения перемещений............................................. 198