Проверка правильности решения

При расчете статически неопределимых балок и рам эпюра M_p имеет решающее значение. Чтобы убедиться, что реакции лишних связей X ₁, X ₂, …, X_n найдены без ошибок и эпюра M_p построена правильно, выполняют кинематическую проверку.

На втором этапе расчета – при построении эпюр Q_p и N_p – выполняют статическую проверку правильности построения этих эпюр.

Кинематическая проверка. Для проверки эпюры M_p ее надо умножить на каждую из эпюр от единичных значений неизвестных – `M_i ⁰. Результат должен быть равен нулю. Эта проверка имеет наглядный геометрический смысл и означает, что мы определяем перемещение D _ip точки приложения X_i в направлении X_i от заданной нагрузки, которое, как это следует из сути метода сил, должно равняться нулю. В самом деле, учитывая, что формулу (4.7), сменив индекс суммирования i на j,можно записать в виде:

M_p = M_p ⁰+ S _j`M_j ⁰ X_j, (4.7¢)

и принимая во внимание формулы (4.4) – (4.6), получим:

D _ip = S _k ò(M_p`M_i ⁰/ EJ) ds = S _k ò[(M_p ⁰+ S _j`M_j ⁰ X_j)× (`M_i ⁰ / EJ) ] ds =

= S _k ò(M_p ⁰× `M_i ⁰/ EJ) ds + S _j [S _k ò (`M_i ⁰× `M_j ⁰ / EJ) ds ] X_j =D _ip ⁰+S _j d _ij X_j = 0.

Статическая проверка. Позволяет проверить правильность построения эпюр Q_p и N_p по эпюре M_p и принципиально не отличается от такой же проверки эпюр, построенных для СОС. При этом рассматривается равновесие части рамы, расположенной по одну сторону от сечения, проведенного через точки, где известны значения всех трех эпюр – M_p, Q_p и N_p. Соответствующая процедура для СНС уже была рассмотрена в примере 4.3.

Пример 4.4. Выполнить кинематическую проверку правильности построения эпюры M_p для рамы на рис. 4.5, а в примере 4.3.

Решение. Умножая эпюру M_p (рис. 4.5, и) на единичные эпюры `M ₁⁰ и `M ₂⁰ (рис. 4.5, в, г) по правилу Верещагина, получим:

D₁ _p = (M_p ´ `M ₁⁰) = (1/ EJ)[(1/2)×2×(1/7)×(1/3)×2+(1/2)×2×(3/7)×(2/8)×1 –

– (2/3)×2×1] = 0;

D₂ _p = (M_p ´ `M ₂⁰) = (1/ EJ)[ – (1/2) ×2×(1/7) ×2 – (1/2) ×2×(3/7)× 2 +

+ (2/3)×2×(1/2)×2 – (1/2) ×2×(1/7)×(2/3)×2 = 0.

Таким образом, кинематическая проверка выполняется. ·

Переходить к построению эпюр Q_p и N_p по эпюре M_p целесообразно лишь после того, как выполнена кинематическая проверка и есть уверенность, что эпюра M_p построена правильно.

Если ошибку найти не удается, можно попробовать решить задачу, выбрав другую основную систему.

Окончательно можно быть уверенным в правильности решения задачи лишь при одновременном выполнении кинематической и статической проверок. Отметим, что при этом возможны следующие варианты.

1. Кинематическая проверка выполняется, а статическая – нет. Скорее всего, это свидетельствует о правильности построения эпюры M_p и ошибке при построении эпюр Q_p или N_p.

Гораздо реже, но встречается ситуация, когда эпюра M_p соответствует не заданной, а какой-либо другой возможной нагрузке.

2. Кинематическая проверка не выполняется, а статическая – выполняется. Это возможно в случае, если правильно построены эпюры `M_i ⁰ и M_p ⁰, но неверно найдены реакции лишних связей X_i. Ошибка возможна при вычислении коэффициентов, свободных членов системы канонических уравнений, ее решении или при построении эпюры M_p по формуле (4.7).

В студенческих работах нельзя исключать и варианта, когда все эпюры построены правильно, а ошибка – в самой кинематической проверке.

3. Не выполняются как кинематическая, так и статическая проверки. Ошибка может быть допущена уже на стадии построения эпюр `M_i ⁰ и M_p ⁰ либо при построении эпюры M_p по формуле (4.7). При этом в последнем случае реакции X_i могут быть найдены правильно.

Примечания

1. В кинематической проверке речь идет о вычислении перемещения D _ip в системе, полученной из заданной СНС удалением, по крайней мере, одной i- ой связи и заменой ее соответствующей реакцией X_i.

2. Эпюру `M_i ⁰ для кинематической проверки можно взять в ОС, отличной от той, которая применялась при построении эпюры M_p.

В системах с одной лишней связью все эпюры `M ₁⁰, независимо от выбора ОС, с точностью до множителя будут равны.

3. Очевидно, что если для рамы с двумя лишними связями D₁ _p = 0, а D₂ _p ¹ 0, то, скорее всего, неправильно найдено значение X ₂, поэтому ошибку следует искать в вычислении D₂ _p ⁰или d₂₂.

4. Вместо того, чтобы умножать эпюру M_p на каждую из единичных эпюр `M_i ⁰, ее можно умножить на их сумму `M_s ⁰ = S _i`M_i ⁰, однако в этом случае будет труднее локализовать ошибку, если окажется, что D _s_p = (M_p ´ `M_s ⁰) ¹ 0.