При расчете статически неопределимых балок и рам эпюра Mp имеет решающее значение. Чтобы убедиться, что реакции лишних связей X 1, X 2, …, Xn найдены без ошибок и эпюра Mp построена правильно, выполняют кинематическую проверку.
На втором этапе расчета – при построении эпюр Qp и Np – выполняют статическую проверку правильности построения этих эпюр.
Кинематическая проверка. Для проверки эпюры Mp ее надо умножить на каждую из эпюр от единичных значений неизвестных – `Mi 0. Результат должен быть равен нулю. Эта проверка имеет наглядный геометрический смысл и означает, что мы определяем перемещение D ip точки приложения Xi в направлении Xi от заданной нагрузки, которое, как это следует из сути метода сил, должно равняться нулю. В самом деле, учитывая, что формулу (4.7), сменив индекс суммирования i на j,можно записать в виде:
Mp = Mp 0 + S j`Mj 0 Xj, (4.7¢)
и принимая во внимание формулы (4.4) – (4.6), получим:
D ip = S k ò(Mp`Mi 0/ EJ) ds = S k ò[(Mp 0 + S j`Mj 0 Xj)× (`Mi 0 / EJ) ] ds =
= S k ò(Mp 0× `Mi 0/ EJ) ds + S j [S k ò (`Mi 0× `Mj 0 / EJ) ds ] Xj =D ip 0 +S j d ij Xj = 0.
Статическая проверка. Позволяет проверить правильность построения эпюр Qp и Np по эпюре Mp и принципиально не отличается от такой же проверки эпюр, построенных для СОС. При этом рассматривается равновесие части рамы, расположенной по одну сторону от сечения, проведенного через точки, где известны значения всех трех эпюр – Mp, Qp и Np. Соответствующая процедура для СНС уже была рассмотрена в примере 4.3.
Пример 4.4. Выполнить кинематическую проверку правильности построения эпюры Mp для рамы на рис. 4.5, а в примере 4.3.
Решение. Умножая эпюру Mp (рис. 4.5, и) на единичные эпюры `M 10 и `M 20 (рис. 4.5, в, г) по правилу Верещагина, получим:
D1 p = (Mp ´ `M 10) = (1/ EJ)[(1/2)×2×(1/7)×(1/3)×2+(1/2)×2×(3/7)×(2/8)×1 –
– (2/3)×2×1] = 0;
D2 p = (Mp ´ `M 20) = (1/ EJ)[ – (1/2) ×2×(1/7) ×2 – (1/2) ×2×(3/7)× 2 +
+ (2/3)×2×(1/2)×2 – (1/2) ×2×(1/7)×(2/3)×2 = 0.
Таким образом, кинематическая проверка выполняется. ·
Переходить к построению эпюр Qp и Np по эпюре Mp целесообразно лишь после того, как выполнена кинематическая проверка и есть уверенность, что эпюра Mp построена правильно.
Если ошибку найти не удается, можно попробовать решить задачу, выбрав другую основную систему.
Окончательно можно быть уверенным в правильности решения задачи лишь при одновременном выполнении кинематической и статической проверок. Отметим, что при этом возможны следующие варианты.
1. Кинематическая проверка выполняется, а статическая – нет. Скорее всего, это свидетельствует о правильности построения эпюры Mp и ошибке при построении эпюр Qp или Np.
Гораздо реже, но встречается ситуация, когда эпюра Mp соответствует не заданной, а какой-либо другой возможной нагрузке.
2. Кинематическая проверка не выполняется, а статическая – выполняется. Это возможно в случае, если правильно построены эпюры `Mi 0 и Mp 0, но неверно найдены реакции лишних связей Xi. Ошибка возможна при вычислении коэффициентов, свободных членов системы канонических уравнений, ее решении или при построении эпюры Mp по формуле (4.7).
В студенческих работах нельзя исключать и варианта, когда все эпюры построены правильно, а ошибка – в самой кинематической проверке.
3. Не выполняются как кинематическая, так и статическая проверки. Ошибка может быть допущена уже на стадии построения эпюр `Mi 0 и Mp 0 либо при построении эпюры Mp по формуле (4.7). При этом в последнем случае реакции Xi могут быть найдены правильно.
Примечания
1. В кинематической проверке речь идет о вычислении перемещения D ip в системе, полученной из заданной СНС удалением, по крайней мере, одной i- ой связи и заменой ее соответствующей реакцией Xi .
2. Эпюру `Mi 0 для кинематической проверки можно взять в ОС, отличной от той, которая применялась при построении эпюры Mp.
В системах с одной лишней связью все эпюры `M 10, независимо от выбора ОС, с точностью до множителя будут равны.
3. Очевидно, что если для рамы с двумя лишними связями D1 p = 0, а D2 p ¹ 0, то, скорее всего, неправильно найдено значение X 2, поэтому ошибку следует искать в вычислении D2 p 0 или d22.
4. Вместо того, чтобы умножать эпюру Mp на каждую из единичных эпюр `Mi 0, ее можно умножить на их сумму `Ms 0 = S i`Mi 0, однако в этом случае будет труднее локализовать ошибку, если окажется, что D sp = (Mp ´ `Ms 0) ¹ 0.
