Рассмотрим примеры определения перемещений в СОС от действующей нагрузки. Во всех случаях изгибная жесткость элементов системы – EJ и их продольная жесткость – EF предполагаются известными.
Пример 3.1. Определить максимальные прогибы балки (рис. 3.14, а).
Рис. 3.14
Решение. В соответствии с формулой (3.17) строим эпюру Mp от заданной нагрузки (рис. 3.14, б) и эпюру `Mi от единичной силы, приложенной в середине балки (рис. 3.14, в).
Вычислим интеграл (3.17) по формуле Верещагина. На всем промежутке [0 ,l ] эпюра Mp является однозначной, то есть отвечает предъявляемым к ней требованиям, а эпюра `Mi на всем промежутке [0 ,l ] будет нелинейной. Поэтому область интегрирования делим на два участка: [0, l /2] и [ l /2, l ], на каждом из которых `Mi (x) будет линейной. С учетом симметрии получим:
v max = D ip = 2 (w1× yc 1)/ EJ = 2 [(2/3)×(l /2)×(ql 2/8)]×[(5/8)×(l /4)] = 5 ql 4/384 EJ. ·
Для того чтобы получить тот же результат с помощью интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки нужно затратить примерно втрое больше усилий – хотя бы потому, что придется находить угол поворота балки в ее начальном сечении – q0.
Формально воспользовавшись для всего промежутка [0 ,l ] формулой Симпсона (3.21) и учитывая, что значения Mp и `Mi на его концах равны нулю, получим:
v max = (l /6 EJ)×4(ql 2/8)×(l /4) = ql 4/48 EJ.
Найденный результат оказался неверным, поскольку на всем промежутке [0 ,l ] подынтегральная функция f (x) = Mp (x) × `Mi (x) не отвечает требованиям, предъявляемым к ней этой формулой.
Пример 3.2. Найти линейное и угловое перемещения точки A на конце Г-образной консольной рамы, у которой жесткость стойки вдвое больше жесткости ригеля (рис. 3.15, а).
| P г=1 |
| M =1 |
| P в=1 |
Рис. 3.15
Решение. Строим эпюру Mp от заданной нагрузки и эпюры `Mi от единичных сил и моментов, приложенных в точке A (рис. 3.15, б – д).
Определяем вертикальное перемещение точки А, перемножая эпюры Mp и `M в:
Dв = (Mp ´ `M в) = (1/ EJ) w1× y 1 + (1/2 EJ) w2× y 2 = (1/ EJ)[(1/3)× l ×(ql 2/2)]×(3/4) l +
+ (1/2 EJ) [ l ×(ql 2/2)]× l = (3/8)(ql 4/ EJ).
Находим горизонтальное перемещение точки А:
Dг = (Mp ´ `M г) = (1/2 EJ) [ l ×(ql 2/2)]×(l /2) = (1/8)(ql 4/ EJ).
Полное перемещение точки А составит:
___________ __
D А = Ö (Dв)2 + (Dг)2 = (Ö10 ql 4)/8 EJ.
Угол поворота сечения в точке А будет равен:
q А = (Mp ´ `M у) = (1/ EJ) w1×1 + + (1/2 EJ) w2×1 = (1/ EJ)[(1/3)× l ×(ql 2/2)]×1 +
+ (1/2 EJ) [ l ×(ql 2/2)]×1 = (5 ql 3/12 EJ). ·
Рассмотренный пример наглядно показывает, почему при определении перемещений в рамах мы пренебрегаем продольными деформациями: вертикальное перемещение точки А от заданной нагрузки в основном определяется изгибом ригеля, изгибом стойки и только в очень незначительной степени – ее сжатием.
Пример 3.3. Найти угол поворота сечения на правой опоре рамы, рассмотренной в примере 2.5, полагая EJ = const (рис. 2.9, а).
| Mi =1 |
Рис. 3.16
Решение. Воспользуемся уже построенной ранее эпюрой Mp от заданной нагрузки (рис. 2.9, б) и (рис. 3.16, а), и умножим ее на эпюру `Mi от единичного момента (рис. 3.16, б). На левой стойке и ригеле эпюра Mp представлена тремя треугольниками с равной площадью wтр = (1/2) × l ×(ql 2/4), которые умножаются на три одинаковых треугольника в эпюре `Mi.
Нестандартную эпюру Mp на правой стойке с площадью wпар представим суммой стандартных эпюр: параболы с площадью w1 и треугольника с площадью w2 (рис. 3.16, в).
Поскольку перемножаемые эпюры расположены на разных волокнах, результат получится со знаком минус. Как и при определении опорных реакций это означает, что действительное направление угла поворота будет противоположно направлению, указанному на рисунке:
q В = (Mp ´ Mi) = (1/ EJ) [(–3) wтр× y тр – wпар× y пар] = – (1/ EJ) [3wтр × y тр+w1 × y 1+
+w2 × y 2] = – (1/ EJ) {3 [(1/2) × l ×(ql 2/4) ] × [(2/3)×(1/2)] + [(2/3) × l ×(ql 2/8)] ×
× [(1/2)(1/2+1)] + [(1/2) l (ql 2/4) ] × [(2/3)(1/2) + (1/3) × 1]} = – (11 ql 3) / (48 EJ). ·
Пример 3.4. Полагая EJ = const, найти взаимное сближение точек i и j рамы, взаимный угол поворота соответствующих сечений, а также построить деформированную схему рамы от заданной нагрузки (рис. 3.17, а).
Решение. Взаимное сближение точек i и j можно найти с помощью стандартной процедуры определения перемещений.
Для этого нужно построить эпюру MP от заданной нагрузки (рис. 3.17, б), а также эпюры `Mi и `Mj от единичных сил, приложенных в этих точках в направлении ij (рис. 3.17, в-г), и определить перемещения Δ i и Δ j соответственно. Искомое взаимное сближение точек i и j будет равно Δ ij = Δ i – Δ j.
Однако легче получить тот же результат, умножив эпюру MP на эпюру `Mij Δ от единичных сил, приложенных в этих точках и направленных навстречу друг другу, поскольку эпюра `Mij Δ от взаимно уравновешенной нагрузки будет проще каждой из эпюр `Mi и `Mj (рис. 3.17, д).
Аналогичным образом поступим и при определении взаимного угла поворота сечений θ ij, умножив эпюру MP на эпюру `Mij θ от единичных моментов, приложенных в точках i и j и направленных навстречу друг другу (рис. 3.17, е).
Таким образом, получим:
Δ ij = (MP ´ `Mij Δ) = – (1/ EJ) [ (1/2) ×(l /2)×(Pl /4)] × [(1/3) × (
)/4] =
= – (1/ EJ) ×(Pl 2/16) × ()/12 = – (1/ EJ) ×(Pl 3 
)/192;
θ ij = (MP ´ `Mij θ) = (1/ EJ) × ((1/2) ×(l /2)×(Pl /4)) × 1 = (1/ EJ) × (Pl 2/16).
Переходя к построению деформированной схемы рамы, отметим два обстоятельства.
Во-первых, эпюра моментов располагается на растянутых волокнах рамы, поэтому стойки рамы, на которых моменты равны нулю, остаются недеформированными.
| P |
| j |
| Pi =1 |
| j |
| i |
| в) |
| `Mi |
| г) |
| `Mj |
| Pj =1 |
| i |
| д) |
| Pi =1 |
| i |
| Pj =1 |
| j |
|
| `Mij Δ |
| е) |
| Mi =1 |
| j |
| Mj =1 |
| i |
| `Mij θ |
| Mk =1 |
| В´ |
| θB |
| P |
| Ml =1 |
| l |
| ж) |
| k |
| `Mkl θ |
| з) |
| В |
| А |
| ΔB |
| j |
| P |
| б) |
| i |
| MP |
| Pl/ 4 |
| а) |
| j |
| i |
| А |
| В |
| l/ 2 |
| l/ 2 |
Рис. 3.17
Во-вторых, углы, которые образуют между собой стержни рамы, соединенные в жестких узлах, не меняются при ее деформации. В этом нетрудно убедиться, если определить взаимный угол поворота сечений, проходящих через точки k и l, у левого верхнего узла рамы (рис. 3.17, ж). Когда точки k и l приближаются к этому узлу, площадь соответствующей эпюры `Mkl θ будет стремиться к нулю, поэтому θ kl = (MР ´ `Mkl θ) также устремится к нулю.
Таким образом, для построения деформированной схемы рамы достаточно определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки j, либо линейное Δ iP и угловое θ iP перемещения сечения у опоры B (рис. 3.17, з). ·
