Примеры определения перемещений

Рассмотрим примеры определения перемещений в СОС от действующей нагрузки. Во всех случаях изгибная жесткость элементов системы – EJ и их продольная жесткость – EF предполагаются известными.

 

Пример 3.1. Определить максимальные прогибы балки (рис. 3.14, а).

 

 

Рис. 3.14

 

Решение. В соответствии с формулой (3.17) строим эпюру M_p от заданной нагрузки (рис. 3.14, б) и эпюру `M_i от единичной силы, приложенной в середине балки (рис. 3.14, в).

Вычислим интеграл (3.17) по формуле Верещагина. На всем промежутке [0 ,l ] эпюра M_p является однозначной, то есть отвечает предъявляемым к ней требованиям, а эпюра `M<sub>i</sub> на всем промежутке [0 ,l ] будет нелинейной. Поэтому область интегрирования делим на два участка: [0, l /2] и [ l /2, l ], на каждом из которых `M_i (x) будет линейной. С учетом симметрии получим:

 

v _max = D _ip = 2 (w₁× y_{c 1})/ EJ = 2 [(2/3)×(l /2)×(ql ²/8)]×[(5/8)×(l /4)] = 5 ql ⁴/384 EJ. ·

 

 

Для того чтобы получить тот же результат с помощью интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки нужно затратить примерно втрое больше усилий – хотя бы потому, что придется находить угол поворота балки в ее начальном сечении – q₀.

Формально воспользовавшись для всего промежутка [0 ,l ] формулой Симпсона (3.21) и учитывая, что значения M_p и `M_i на его концах равны нулю, получим:

v _max = (l /6 EJ)×4(ql ²/8)×(l /4) = ql ⁴/48 EJ.

 

Найденный результат оказался неверным, поскольку на всем промежутке [0 ,l ] подынтегральная функция f (x) = M_p (x) × `M_i (x) не отвечает требованиям, предъявляемым к ней этой формулой.

 

Пример 3.2. Найти линейное и угловое перемещения точки A на конце Г-образной консольной рамы, у которой жесткость стойки вдвое больше жесткости ригеля (рис. 3.15, а).

P г=1

M =1

P в=1

 

Рис. 3.15

 

Решение. Строим эпюру M_p от заданной нагрузки и эпюры `M_i от единичных сил и моментов, приложенных в точке A (рис. 3.15, б – д).

Определяем вертикальное перемещение точки А, перемножая эпюры M_p и `M ^в:

 

D^в = (M_p ´ `M ^в) = (1/ EJ) w₁× y ₁ + (1/2 EJ) w₂× y ₂ = (1/ EJ)[(1/3)× l ×(ql ²/2)]×(3/4) l +

+ (1/2 EJ) [ l ×(ql ²/2)]× l = (3/8)(ql ⁴/ EJ).

 

Находим горизонтальное перемещение точки А:

 

D^г = (M_p ´ `M ^г) = (1/2 EJ) [ l ×(ql ²/2)]×(l /2) = (1/8)(ql ⁴/ EJ).

 

Полное перемещение точки А составит:

___________ __

D _А = Ö (D^в)² + (D^г)² = (Ö10 ql ⁴)/8 EJ.

 

Угол поворота сечения в точке А будет равен:

 

q _А = (M_p ´ `M ^у) = (1/ EJ) w₁×1 + + (1/2 EJ) w₂×1 = (1/ EJ)[(1/3)× l ×(ql ²/2)]×1 +

+ (1/2 EJ) [ l ×(ql ²/2)]×1 = (5 ql ³/12 EJ). ·

 

Рассмотренный пример наглядно показывает, почему при определении перемещений в рамах мы пренебрегаем продольными деформациями: вертикальное перемещение точки А от заданной нагрузки в основном определяется изгибом ригеля, изгибом стойки и только в очень незначительной степени – ее сжатием.

 

Пример 3.3. Найти угол поворота сечения на правой опоре рамы, рассмотренной в примере 2.5, полагая EJ = const (рис. 2.9, а).

 

Mi =1

 

Рис. 3.16

 

Решение. Воспользуемся уже построенной ранее эпюрой M_p от заданной нагрузки (рис. 2.9, б) и (рис. 3.16, а), и умножим ее на эпюру `M<sub>i</sub> от единичного момента (рис. 3.16, б). На левой стойке и ригеле эпюра M<sub>p</sub> представлена тремя треугольниками с равной площадью w<sub>тр</sub> = (1/2) × l ×(ql <sup>2</sup>/4), которые умножаются на три одинаковых треугольника в эпюре `M_i.

Нестандартную эпюру M_p на правой стойке с площадью w_пар представим суммой стандартных эпюр: параболы с площадью w₁ и треугольника с площадью w₂ (рис. 3.16, в).

Поскольку перемножаемые эпюры расположены на разных волокнах, результат получится со знаком минус. Как и при определении опорных реакций это означает, что действительное направление угла поворота будет противоположно направлению, указанному на рисунке:

 

q _В = (M_p ´ M_i) = (1/ EJ) [(–3) w_тр× y _тр – w_пар× y _пар] = – (1/ EJ) [3w_тр × y _тр+w₁ × y ₁+

+w₂ × y ₂] = – (1/ EJ) {3 [(1/2) × l ×(ql ²/4) ] × [(2/3)×(1/2)] + [(2/3) × l ×(ql ²/8)] ×

× [(1/2)(1/2+1)] + [(1/2) l (ql ²/4) ] × [(2/3)(1/2) + (1/3) × 1]} = – (11 ql ³) / (48 EJ). ·

Пример 3.4. Полагая EJ = const, найти взаимное сближение точек i и j рамы, взаимный угол поворота соответствующих сечений, а также построить деформированную схему рамы от заданной нагрузки (рис. 3.17, а).

Решение. Взаимное сближение точек i и j можно найти с помощью стандартной процедуры определения перемещений.

Для этого нужно построить эпюру M_P от заданной нагрузки (рис. 3.17, б), а также эпюры `M<sub>i</sub> и `M_j от единичных сил, приложенных в этих точках в направлении ij (рис. 3.17, в-г), и определить перемещения Δ _i и Δ _j соответственно. Искомое взаимное сближение точек i и j будет равно Δ _ij = Δ _i – Δ _j.

Однако легче получить тот же результат, умножив эпюру M_P на эпюру `M<sub>ij</sub> <sup>Δ</sup> от единичных сил, приложенных в этих точках и направленных навстречу друг другу, поскольку эпюра `M_ij ^Δ от взаимно уравновешенной нагрузки будет проще каждой из эпюр `M<sub>i</sub> и `M_j (рис. 3.17, д).

Аналогичным образом поступим и при определении взаимного угла поворота сечений θ _ij, умножив эпюру M_P на эпюру `M_ij ^θ от единичных моментов, приложенных в точках i и j и направленных навстречу друг другу (рис. 3.17, е).

Таким образом, получим:

 

Δ _ij = (M_P ´ `M_ij ^Δ) = – (1/ EJ) [ (1/2) ×(l /2)×(Pl /4)] × [(1/3) × ()/4] =

= – (1/ EJ) ×(Pl ²/16) × ()/12 = – (1/ EJ) ×(Pl ³ )/192;

 

θ _ij = (M_P ´ `M_ij ^θ) = (1/ EJ) × ((1/2) ×(l /2)×(Pl /4)) × 1 = (1/ EJ) × (Pl ²/16).

 

Переходя к построению деформированной схемы рамы, отметим два обстоятельства.

Во-первых, эпюра моментов располагается на растянутых волокнах рамы, поэтому стойки рамы, на которых моменты равны нулю, остаются недеформированными.

 

P

j

Pi =1

j

i

в)

`Mi

г)

`Mj

Pj =1

i

д)

Pi =1

i

Pj =1

j

`Mij Δ

е)

Mi =1

j

Mj =1

i

`Mij θ

Mk =1

В´

θB

P

Ml =1

l

ж)

k

`Mkl θ

з)

В

А

ΔB

j

P

б)

i

MP

Pl/ 4

а)

j

i

А

В

l/ 2

l/ 2

 

 

Рис. 3.17

 

Во-вторых, углы, которые образуют между собой стержни рамы, соединенные в жестких узлах, не меняются при ее деформации. В этом нетрудно убедиться, если определить взаимный угол поворота сечений, проходящих через точки k и l, у левого верхнего узла рамы (рис. 3.17, ж). Когда точки k и l приближаются к этому узлу, площадь соответствующей эпюры `M<sub>kl</sub> <sup>θ</sup> будет стремиться к нулю, поэтому θ <sub>kl</sub> = (M<sub>Р</sub> ´ `M_kl ^θ) также устремится к нулю.

Таким образом, для построения деформированной схемы рамы достаточно определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки j, либо линейное Δ _iP и угловое θ _iP перемещения сечения у опоры B (рис. 3.17, з). ·