Определение внутренних усилий

После решения системы канонических уравнений (4.6) и определения реакций лишних связей X ₁, X ₂, …, X_n внутренние усилия можно найти как в любой статически определимой системе, загруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями этих связей. Однако, учитывая, что в процессе решения задачи мы построили эпюры `M ₁⁰, `M ₂⁰,…, `M_n ⁰ – от единичных значений неизвестных и эпюру M_p ⁰ – от заданной нагрузки, удобнее воспользоваться принципом суперпозиции и вычислить эти внутренние усилия по формулам:

M_p = M_p ⁰+ S `M_i ⁰ X_i;

Q_p = Q_p ⁰ + S `Q_i ⁰ X_i; (4.7)

N_p = N_p ⁰ + S `N_i ⁰ X_i,

где M_p, Q_p, N_p – соответствующие усилия в заданной СНС от заданной нагрузки; M_p ⁰, Q_p ⁰, N_p ⁰– те же усилия в ОС МС от заданной нагрузки; `M_i ⁰, `Q_i ⁰, `N_i ⁰– эти же усилия в ОС МС от X_i = 1.

Рис. 4.5

Поскольку при расчете рам учитываются только изгибные деформации, которым соответствуют изгибающие моменты, по формулам (4.7) определяют лишь первое из внутренних усилий – M_p. Эпюру Q_p удобнее построить по эпюре M_p, используя дифференциальную зависимость Q_p = dM_p / dx, а эпюру N_p – по эпюре Q_p, рассматривая равновесие вырезанных узлов рамы.

Рассмотрим такую процедуру на примере фрагмента рамы, приведенного на рис. 4.6, а.

Пусть на вертикально расположенных участках k - i и j - l эпюра M_p линейна и знакопостоянна, а на горизонтальном участке i - j, загруженном равномерно распределенной нагрузкой, представляет собой параболу.

Очевидно, что на последнем участке рамы эпюра M_p не отличается от эпюры моментов в простой двухопорной балке соответствующего пролета, загруженной равномерно распределенной нагрузкой и концевыми моментами (рис. 4.6, б), и ее в общем случае можно представить в виде суммы:

M_p (x) = M_p ⁰ (x) + M_p ^к(x), (4.8)

где M_p ⁰ (x) – эпюра от собственной нагрузки внутри пролета, а M_p ^к(x) – эпюра от концевых моментов, показанная пунктиром на рис. 4.6, в.

Рис. 4.6

Дифференцируя (4.8), и рассматривая полученное выражение на концах участка, получим:

Q_ij = Q_ij ⁰ + (M ^пр – M ^лев)/ l_ij, (4.9)

где Q_ij и Q_ij ⁰ – поперечные силы от заданной и от местной нагрузки в i -м узле рамы на участке i - j (рис. 4.6, г – д), а М ^при М ^лев – значения моментов на концах соответствующей балки, взятые с учетом знаков из сопромата. Аналогично под Q_ji будем понимать поперечную силу в j -ом узле этого участка. Тогда в нашем примере М ^пр = – M_j, а М ^лев = – M_i, поэтому

Q_ij = ql /2 + (M_i – M_j)/ l_i_j;

Q_ji = – ql /2 + (M_i – M_j)/ l_ij.

Применяя соответствующие обозначения для продольных сил и рассматривая равновесие i -го узла рамы, получим (рис. 4.6, е):

S X = 0; _ N_ij = – Q_ik;

S Y = 0; _ N_ik = – Q_ij.

Аналогичные уравнения, получаемые из условия равновесия рассматриваемого j -го узла рамы или ригеля i - j в целом, можно использовать для проверки найденных результатов.

Вернемся теперь к рассмотрению рамы на рис. 4.5, а.

Пример 4.3. Построить эпюры внутренних усилий для заданной рамы (рис. 4.5, а).

Решение.

1. Находим изгибающие моменты по формуле (4.7):

M_p = M_p ⁰+ `M ₁⁰ X ₁ + `M ₂⁰ X ₂,

воспользовавшись найденными ранее значениями X ₁ и X ₂ – см. пример 4.2.

На ригеле эта эпюра совпадает с эпюрой `M ₁⁰ X ₁ (рис. 4.5, ж), поскольку на этом участке эпюры M_p ⁰ и `M ₂⁰ равны нулю. Для построения M_p на стойке достаточно вычислить ее значения в 1-м узле (рис. 4.5, и): M ₁= 2 + (1/7) – (12/7) = 3/7кНм.

2. При построении эпюры на стойке будем для определенности считать первый узел – левым, а второй – правым. Тогда по формуле (4.9) получим:

Q ₁₂ = ql ₁₂/2 + (M ^пр – M ^лев)/ l ₁₂ = (1×2)/2 + [(–1/7) – (–3/7)]/2 = 1 + 1/7 = 8/7;

Q ₂₁ = - ql ₁₂/2 + (M ^пр – M ^лев)/ l ₁₂ = - 1 + 1/7 = - 6/7кН.

На ригеле местная нагрузка отсутствует, поэтому (рис. 4.5, к):

Q ₂₃ = Q ₃₂ = (1/7)/2 = 1/14кН.

3. Для построения эпюры N_p достаточно рассмотреть равновесие 2-го узла рамы:

S X = 0; _ N ₂₃ = – Q ₂₁= – 6/7 кН;

S Y = 0; _ N ₂₁ = – Q ₂₃= – 1/14 кН.

Для проверки правильности построения эпюр можно рассмотреть равновесие части рамы (рис. 4.5, м), расположенной выше сечения, проведенного вблизи опор A и B,где известны значения всех трех эпюр:

S X = 2 – 6/7 – 8/7 = 0;

S Y = 2/7 – 2/7 = 0;

S M_A = 3/7 – 2×1 + (6/7)×2 – (1/14) ×2 = 0. ·