Рассмотренный выше метод вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений МП, основанный на рассмотрении равновесия узлов рамы, приводит к затруднениям для рам с наклонными элементами. В этом случае, а также при реализации МП в компьютерной программе целесообразно воспользоваться общим методом вычисления коэффициентов.
Пусть рама загружена произвольной нагрузкой (рис. 6.6, а), а соответствующая ей основная система МП образована введением двух связей: моментной – i и линейной – j (рис. 6.6, б).
Рассмотрим два состояния этой системы, соответствующие единичным смещениям введенных связей, и обозначим через `Mi 0 и `Mj 0 соответствующие им эпюры изгибающих моментов (рис. 6.6, в, г).
Вычислим работу внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния:
A 12 = rii · θ ij + rji ·δ jj = rii · 0 + rji ·1 = rji.
Учитывая, что в силу (3.15)
A 12 = – W 12 = – Sò(`Mi 0 · `Mj 0/ EJ) ds,
получим отсюда искомое выражение для определения удельных реакций:
rij = rji = Sò(`Mi 0 · `Mj 0/ EJ) ds. (6.4)
Последнее выражение напоминает формулу (4.4) для вычисления коэффициентов канонических уравнений в методе сил:
d ij = (`Mi 0 ´ `Mj 0) = Sò (`Mi 0 × `Mj 0 / EJ) ds,
и может показаться, что свободные члены системы канонических уравнений в методе перемещений также вычисляются по формуле, аналогичной (4.5):
D ip 0= (`Mi 0 ´ `Mp 0) = Sò (`Mi 0× `Mp 0 / EJ) ds.
В действительности это не так: Rip 0 ≠ (`Mi 0 ´ `Mp 0), а (`Mi 0 ´ `Mp 0) = 0.
Рассмотрим снова два состояния основной системы МП, и пусть первое по-прежнему соответствует единичному смещению i -й связи (рис. 6.6, в), а второе – единичной силе, приложенной в k -й точке этой системы (рис. 6.6, д).
| zi =1 |
| zj =1 |
| Pk =1 |
| Pk =1 |
| zj =1 |
| св j |
| св i |
Рис. 6.6
Работа внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния равна нулю:
A 12 = rii · θ ip + rji · δ jp = rii · 0 + rji · 0 = 0,
а поскольку A 12 = A 21 , то
A 21 = P · d pi + rip · θ ii = 0,
откуда
rip = – d pi .
То есть реакция в i-й связи основной системы от единичной силы, приложенной в точке k, равна взятому со знаком минус перемещению точки приложения силы от единичного смещения этой связи.
Это утверждение носит название второй теоремы Релея.
Возвращаясь к традиционным обозначениям МП и обобщая последнее соотношение на случай нескольких сил произвольной величины, получим:
Rip 0 = – S Pk · d ki . (6.5)
Таким образом, реакция в i-ой связи ОС МП от заданной нагрузки равна взятой со знаком минус работе всех сил, приложенных к системе, на перемещениях, вызванных единичным смещением этой связи.
Примечание
Поскольку A 12 = 0, а A 12 = – W 12 , то действительно: (`Mi 0 ´ `Mp 0) = – W 12 = 0. При этом нетрудно доказать, что искомую реакцию можно вычислить по формуле:
Rip 0 = (`Mi 0 ´ Mp 0) = – Σ(`Mi 0 ´ Mp 0/ EJ) ds,
где `Mi 0 – это по-прежнему эпюра моментов в ОС МП от единичного смещения i -й связи, а Mp 0 – эпюра моментов в любой ОС МС от заданной нагрузки. Такой, например, является эпюра, приведенная на рис. 6.6, е.
Легко убедиться, что в этом случае значение Rip 0 = – 3 Pl /16 совпадает с табличным значением, указанным на рис. 6.4.
ГЛАВА 7. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ СНС МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
