Рассмотрим два состояния плоской стержневой системы, представленной рамой.
Обозначим через M 1, Q 1, N 1 внутренние силы первого, а через M 2, Q 2, N 2 – внутренние силы второго состояния. Последним будут соответствовать деформации κ2, g2, e2 и перемещения u 2, v 2, q2, связанные зависимостями из §1.3:
dN 2/ dx = – qx; ü
dQ 2/ dx = qy; ý (1.10¢)
dM 2/ dx = Q 2. þ
κ 2 = d q2/ dx; ü
g2 = q2 – dv 2/ dx; ý (1.11¢)
e2 = du 2/ dx. þ
κ 2 = M 2/ EJ; ü
g2 = m Q 2/ GF; ý (1.12¢)
e2 = N 2/ EF. þ
Напомним, что по отношению к элементу рамы длиной dx внутренние силы, несмотря на название, являются такими же внешними, как и равнодействующая распределенной нагрузки (рис. 3.10, а).
Вычислим работу внутренних сил M 1, Q 1, N 1 на перемещениях второго состояния системы (рис. 3.10, б):
dA 12 = - N 1 u 2 + (N 1 + dN 1)(u 2 + du 2) + Q 1 v 2 – (Q 1 + dQ 1)(v 2 + dv 2) - M 1q2 +
+ (M 1+ dM 1)(q2+ d q2) + qxdx (u 2 + du 2/2) + qydx (v 2 + dv 2/2) = - N 1 u 2 + N 1 u 2 + N 1 du 2 + +{ dN 1 u 2}+ dN 1 du 2 + Q 1 v 2 - Q 1 v 2 - Q 1 dv 2 -{ dQ 1 v 2} - dQ 1 dv 2 - M 1q2 + M 1q2 + M 1 d q2 + + { dM 1q2} + dM 1 d q2 + qxdx (u 2+ du 2/2) + qydx (v 2+ dv 2/2). (3.12)
| θ2 |
| v 2+ dv 2 |
| dx |
| u 2 |
| M 1 + dM 1 |
| N 1 + dN 1 |
| Q 1 + dQ 1 |
| dx |
| M 1 1 |
| N 1 1 |
| Q 1 1 |
| а) |
| б) |
| qy·dx |
| qx·dx |
| v 2 |
| u 2+ du 2 |
| θ2+ d θ2 |
Рис. 3.10
Пренебрегая в (3.12) подчеркнутыми слагаемыми как бесконечно малыми второго порядка и воспользовавшись соотношением (1.10) для членов в фигурных скобках, получим:
dA 12 = N 1 du 2 – { Q 1 dv 2} + M 1 d q2 – { qx dxu 2}+ qx dxu 2 + qxdxdu 2/2 – { qy dxv 2} +
+ qy dxv 2 + qydxdu 2/2 + Q 1 dx q2. (3.13)
Снова, отбрасывая в последнем выражении подчеркнутые слагаемые как бесконечно малые второго порядка и используя (1.11¢) для второго члена, заключенного в фигурные скобки, будем иметь:
dA 12 = N 1e2 dx + M 1κ 2 dx – Q 1(q2 –g2) dx + Q 1 dx q2 =
= (M 1κ 2 + Q 1g2 + N 1e2) dx. (3.14)
Наконец, выражая в (3.14) деформации через внутренние усилия с помощью (1.12¢), найдем для элемента рамы длиной ds:
dA 12 = (M 1 M 2/ EJ + m Q 1 Q 2/ GF + N 1 N 2/ EF) ds.
Полная работа получается интегрированием по длине стержня и суммированием по всем участкам рамы. С учетом знака получим окончательное выражение работы внутренних сил первого состояния на перемещениях второго состояния:
W 12 = - A 12 = - Sò (M 1 M 2/ EJ + m Q 1 Q 2/ GF + N 1 N 2/ EF) ds. (3.15)
Интеграл Мора-Максвелла
С помощью (3.15) нетрудно получить формулу для определения перемещения i -й точки упругой системы от приложенной нагрузки.
Рассмотрим два состояния системы: первое – от заданной нагрузки и второе – от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке i в направлении искомого линейного или, соответственно, углового перемещения (рис. 3.11). Обычно первое из этих состояний называют действительным, а второе – возможным или виртуальным.
| i' |
| Pi =1 |
Рис. 3.11
Обозначим через D ip искомое перемещение точки i – в нашем примере на рис. 3.11, а – это вертикальное линейное перемещение.
Пусть Mp, Qp, Np – внутренние усилия первого состояния, а `Mi, `Qi, `Ni – внутренние силы второго состояния.
Воспользовавшись теоремой Бетти:
A 12 = A 21,
где
A 21 = Pi ×D ip = 1×D ip = D ip,
а
A 12 = – W 12,
получим с помощью (3.15) искомую формулу для определения перемещений, которая называется интегралом Мора-Максвелла:
D ip = Sò (Mp`Mi / EJ + m Qp`Qi / GF + Np`Ni / EF) ds. (3.16)
Таким образом, для определения линейного (углового) перемещения точки i упругой системы в заданном направлении от заданной нагрузки необходимо:
– построить эпюры Mp, Qp, Np в заданной системе от заданной нагрузки;
– построить эпюры `Mi, `Qi, `Ni от единичной силы (единичного момента), приложенной в точке i в направлении искомого перемещения;
– вычислить интеграл (3.16).
Отметим, что перемещения в балках и рамах определяются в основном изгибными деформациями, поэтому для таких систем вместо (3.16) можно воспользоваться формулой:
D ip = Sò (Mp`Mi / EJ) ds. (3.17)
Наоборот, в фермах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, поэтому перемещения здесь полностью определяются продольными деформациями:
D ip = ò (Np`Ni / EF) ds= S(Npk `Nik / EFk) lk, (3.18)
где lk и EFk – соответственно длина и продольная жесткость k -го стержня фермы.
Примечания
1. Вычисление интеграла (3.17) условно называют перемножением эпюр Mp и `Mi и записывают это в виде: D ip = (Mp ´ `Mi).
2. При вычислении перемещений, как правило, пренебрегают деформациями сдвига.
3. При выводе формулы (3.16) нигде не предполагалось, что заданная система является статически определимой, поэтому эта формула верна как для СОС, так и для СНС. Тем не менее, в названии главы фигурируют только СОС поскольку, во-первых, пока в нашем распоряжении нет удобного метода определения внутренних усилий в СНС, а во-вторых, для последних систем формулу (3.16) можно упростить.
Формула Верещагина
Интеграл (3.17) можно вычислить аналитически, однако если жесткости стержней постоянны, удобнее воспользоваться другим способом, который обычно и применяют на практике.
Учитывая, что эпюра `Mi от единичного силового фактора является кусочно-линейной, можно выбрать промежутки [ a,b ], где она будет просто линейной. Тогда выбирая начало локальной системы отсчета так, как показано на рис. 3.12, б, ее уравнение можно записать в виде: `Mi (x) = tga× x. При этом интеграл в (3.17) примет вид:
(Mp`Mi / EJ) dx = (tga/ EJ) 
x × Mp dx. (3.19)
Рис. 3.12
Обозначая через w площадь эпюры Mp:
w = 
d w = Mp dx,
и учитывая, что ее статический момент относительно оси Oy равен:
Sy = xd w = w× xc,
представим (3.19) в виде:
(tga/ EJ) x × Mp dx = (tga/ EJ) xd w= (tga/ EJ) xc ×w = (w yc)/ EJ,
где yc = tga× xc.
Возвращаясь к формуле (3.17), получим:
D ip = S (w kyck)/(EJk). (3.20)
Таким образом, чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является линейной, нужно вычислить площадь криволинейной эпюры – w и умножить ее на ординату yc в линейной эпюре, вычисленную под центром тяжести криволинейной.
Для реализации формулы (3.20) остается рассмотреть геометрические характеристики стандартных эпюр (рис. 3.13), где две последние – соответствуют эпюрам от равномерно распределенной нагрузки. Поскольку любую нестандартную эпюру можно представить комбинацией стандартных, с помощью последних можно перемножить произвольные эпюры.
Рис. 3.13
Примечания
1. При выводе формулы (3.20) криволинейная эпюра Mp с площадью w предполагается однозначной. Если это условие не выполнено, ее представляют комбинацией двух или большего числа стандартных эпюр.
2. Для вычисления интеграла (3.17) можно применять формулы численного интегрирования, в том числе – формулу Симпсона:
= [ (b – a)/6] { f (a) + 4 f [ (a + b)/2] + f (b)},
которая позволяет получить точный результат, если функция f (x) является многочленом до третьей степени включительно.
Таким образом, если на всем промежутке [ a, b ] эпюра `Mi линейна, а эпюра Mp является квадратичной параболой, интеграл (3.17) можно вычислить по формуле:
D ip =S(lk /6 EJk) { Mp (ak)× `Mi (ak) +4 Mp [ (ak + bk)/2]× `Mi [ (ak + bk)/2] +Mp (bk) × `Mi (bk) }. (3.21)
При этом однозначности эпюры Mp на промежутке [ a, b ] не требуется, а формулу можно, конечно, применять и для линейной функции Mp (x).
