Работа внутренних сил плоской стержневой системы

Рассмотрим два состояния плоской стержневой системы, представленной рамой.

Обозначим через M ₁, Q ₁, N ₁ внутренние силы первого, а через M ₂, Q ₂, N ₂ – внутренние силы второго состояния. Последним будут соответствовать деформации κ₂, g₂, e₂ и перемещения u ₂, v ₂, q₂, связанные зависимостями из §1.3:

dN ₂/ dx = – q_x; ü

dQ ₂/ dx = q_y; ý (1.10¢)

dM ₂/ dx = Q ₂. þ

κ₂ = d q₂/ dx; ü

g₂ = q₂ – dv ₂/ dx; ý (1.11¢)

e₂ = du ₂/ dx. þ

κ₂ = M ₂/ EJ; ü

g₂ = m Q ₂/ GF; ý (1.12¢)

e₂ = N ₂/ EF. þ

Напомним, что по отношению к элементу рамы длиной dx внутренние силы, несмотря на название, являются такими же внешними, как и равнодействующая распределенной нагрузки (рис. 3.10, а).

Вычислим работу внутренних сил M ₁, Q ₁, N ₁ на перемещениях второго состояния системы (рис. 3.10, б):

dA ₁₂= - N ₁ u ₂+ (N ₁ + dN ₁)(u ₂+ du ₂) + Q ₁ v ₂– (Q ₁ + dQ ₁)(v ₂+ dv ₂) - M ₁q₂ +

+ (M ₁+ dM ₁)(q₂+ d q₂) + q_xdx (u ₂+ du ₂/2) + q_ydx (v ₂+ dv ₂/2) = - N ₁ u ₂+ N ₁ u ₂+ N ₁ du ₂+ +{ dN ₁ u ₂}+ dN ₁ du ₂ + Q ₁ v ₂- Q ₁ v ₂- Q ₁ dv ₂-{ dQ ₁ v ₂} - dQ ₁ dv ₂ - M ₁q₂ + M ₁q₂+ M ₁ d q₂+ + { dM ₁q₂} + dM ₁ d q₂ + q_xdx (u ₂+ du ₂/2) + q_ydx (v ₂+ dv ₂/2). (3.12)

θ₂

v ₂+ dv ₂

u ₂

M ₁ + dM ₁

N ₁ + dN ₁

Q ₁ + dQ ₁

M _{1 1}

N _{1 1}

Q _{1 1}

а)

б)

q_y·dx

q_x·dx

v ₂

u ₂+ du ₂

θ₂+ d θ₂

Рис. 3.10

Пренебрегая в (3.12) подчеркнутыми слагаемыми как бесконечно малыми второго порядка и воспользовавшись соотношением (1.10) для членов в фигурных скобках, получим:

dA ₁₂= N ₁ du ₂– { Q ₁ dv ₂} + M ₁ d q₂– { q_x~~dxu~~ ₂}+ q_x~~dxu~~ ₂+ q_xdxdu ₂/2 – { q_y~~dxv~~ ₂} +

+ q_y~~dxv~~ ₂+ q_ydxdu ₂/2 + Q ₁ dx q₂. (3.13)

Снова, отбрасывая в последнем выражении подчеркнутые слагаемые как бесконечно малые второго порядка и используя (1.11¢) для второго члена, заключенного в фигурные скобки, будем иметь:

dA ₁₂= N ₁e₂ dx + M ₁κ₂ dx – Q ₁(q₂–g₂) dx + Q ₁ dx q₂=

= (M ₁κ₂+ Q ₁g₂+ N ₁e₂) dx. (3.14)

Наконец, выражая в (3.14) деформации через внутренние усилия с помощью (1.12¢), найдем для элемента рамы длиной ds:

dA ₁₂= (M ₁ M ₂/ EJ + m Q ₁ Q ₂/ GF + N ₁ N ₂/ EF) ds.

Полная работа получается интегрированием по длине стержня и суммированием по всем участкам рамы. С учетом знака получим окончательное выражение работы внутренних сил первого состояния на перемещениях второго состояния:

W ₁₂= - A ₁₂= - Sò (M ₁ M ₂/ EJ + m Q ₁ Q ₂/ GF + N ₁ N ₂/ EF) ds. (3.15)

Интеграл Мора-Максвелла

С помощью (3.15) нетрудно получить формулу для определения перемещения i -й точки упругой системы от приложенной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы: первое – от заданной нагрузки и второе – от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке i в направлении искомого линейного или, соответственно, углового перемещения (рис. 3.11). Обычно первое из этих состояний называют действительным, а второе – возможным или виртуальным.

P_i =1

Рис. 3.11

Обозначим через D _ip искомое перемещение точки i – в нашем примере на рис. 3.11, а – это вертикальное линейное перемещение.

Пусть M_p, Q_p, N_p – внутренние усилия первого состояния, а `M_i, `Q_i, `N_i – внутренние силы второго состояния.

Воспользовавшись теоремой Бетти:

A ₁₂= A ₂₁,

где

A ₂₁= P_i ×D _ip = 1×D _ip = D _ip,

A ₁₂ = – W ₁₂,

получим с помощью (3.15) искомую формулу для определения перемещений, которая называется интегралом Мора-Максвелла:

D _ip = Sò (M_p`M_i / EJ + m Q_p`Q_i / GF + N_p`N_i / EF) ds. (3.16)

Таким образом, для определения линейного (углового) перемещения точки i упругой системы в заданном направлении от заданной нагрузки необходимо:

– построить эпюры M_p, Q_p, N_p в заданной системе от заданной нагрузки;

– построить эпюры `M_i, `Q_i, `N_i от единичной силы (единичного момента), приложенной в точке i в направлении искомого перемещения;

– вычислить интеграл (3.16).

Отметим, что перемещения в балках и рамах определяются в основном изгибными деформациями, поэтому для таких систем вместо (3.16) можно воспользоваться формулой:

D _ip = Sò (M_p`M_i / EJ) ds. (3.17)

Наоборот, в фермах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, поэтому перемещения здесь полностью определяются продольными деформациями:

D _ip = ò (N_p`N_i / EF) ds= S(N_pk `N_ik / EF_k) l_k, (3.18)

где l_k и EF_k – соответственно длина и продольная жесткость k -го стержня фермы.

Примечания

1. Вычисление интеграла (3.17) условно называют перемножением эпюр M_p и `M_i и записывают это в виде: D _ip = (M_p ´ `M_i).

2. При вычислении перемещений, как правило, пренебрегают деформациями сдвига.

3. При выводе формулы (3.16) нигде не предполагалось, что заданная система является статически определимой, поэтому эта формула верна как для СОС, так и для СНС. Тем не менее, в названии главы фигурируют только СОС поскольку, во-первых, пока в нашем распоряжении нет удобного метода определения внутренних усилий в СНС, а во-вторых, для последних систем формулу (3.16) можно упростить.

Формула Верещагина

Интеграл (3.17) можно вычислить аналитически, однако если жесткости стержней постоянны, удобнее воспользоваться другим способом, который обычно и применяют на практике.

Учитывая, что эпюра `M_i от единичного силового фактора является кусочно-линейной, можно выбрать промежутки [ a,b ], где она будет просто линейной. Тогда выбирая начало локальной системы отсчета так, как показано на рис. 3.12, б, ее уравнение можно записать в виде: `M_i (x) = tga× x. При этом интеграл в (3.17) примет вид:

(M_p`M_i / EJ) dx = (tga/ EJ) x × M_p dx. (3.19)

Рис. 3.12

Обозначая через w площадь эпюры M_p:

w = d w = M_pdx,

и учитывая, что ее статический момент относительно оси Oy равен:

S_y = xd w = w× x_c,

представим (3.19) в виде:

(tga/ EJ) x × M_pdx = (tga/ EJ) xd w= (tga/ EJ) x_c ×w = (w y_c)/ EJ,

где y_c = tga× x_c.

Возвращаясь к формуле (3.17), получим:

D _ip = S (w _ky_ck)/(EJ_k). (3.20)

Таким образом, чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является линейной, нужно вычислить площадь криволинейной эпюры – w и умножить ее на ординату y_c в линейной эпюре, вычисленную под центром тяжести криволинейной.

Для реализации формулы (3.20) остается рассмотреть геометрические характеристики стандартных эпюр (рис. 3.13), где две последние – соответствуют эпюрам от равномерно распределенной нагрузки. Поскольку любую нестандартную эпюру можно представить комбинацией стандартных, с помощью последних можно перемножить произвольные эпюры.

Рис. 3.13

Примечания

1. При выводе формулы (3.20) криволинейная эпюра M_p с площадью w предполагается однозначной. Если это условие не выполнено, ее представляют комбинацией двух или большего числа стандартных эпюр.

2. Для вычисления интеграла (3.17) можно применять формулы численного интегрирования, в том числе – формулу Симпсона:

= [ (b – a)/6] { f (a) + 4 f [ (a + b)/2] + f (b)},

которая позволяет получить точный результат, если функция f (x) является многочленом до третьей степени включительно.

Таким образом, если на всем промежутке [ a, b ] эпюра `M_i линейна, а эпюра M_p является квадратичной параболой, интеграл (3.17) можно вычислить по формуле:

D _ip =S(l_k /6 EJ_k) { M_p (a_k)× `M_i (a_k) +4 M_p [ (a_k + b_k)/2]× `M_i [ (a_k + b_k)/2] +M_p (b_k) × `M_i (b_k) }. (3.21)

При этом однозначности эпюры M_p на промежутке [ a, b ] не требуется, а формулу можно, конечно, применять и для линейной функции M_p (x).