Уравновешенная система сил

Необходимым и достаточным условием равновесия плоской системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента системы:

 

R₀ = 0, M₀ = 0. (4.2)

 

Из этого условия следуют уравнения равновесия плоской системы сил, которые можно записать в трех различных формах:

1) Первая форма:

S M_A = 0;

S X = 0; (4.3)

S Y = 0.

2) Вторая форма:

S M_A = 0;

S M_B = 0; (4.4)

S Y = 0, где ось Oy неперпендикулярна отрезку АВ.

3) Третья форма:

S M_A = 0;

S M_B = 0; (4.5)

S M_С = 0, где точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Таким образом, уравнения (4.3), (4.4) или (4.5) эквивалентны условиям (4.2) и наоборот.

В самом деле, условие R₀ = 0 означает, что½ R₀ ½= R₀ = 0. Поэтомус учетом (4.1): R₀ ² = (S X)² + (S Y)² = 0, откуда и следуют два последних уравнения (4.2).

Первое из уравнений (4.3) получается из условия равенства нулю главного момента, если в качестве центра приведения взять точку А.

Докажем теперь, что уравнения (4.4) эквивалентны условиям равновесия системы (4.2).

Первое из уравнений (4.4) будет выполняться в двух случаях:

1) система сил, приложенных к ТТ, уравновешена и ее равнодействующая равна нулю;

2) равнодействующая сил, приложенных к ТТ, отлична от нуля, при этом ее линия действия проходит через точку А.

Пусть одновременно выполняются два первых уравнения системы (4.4). Это по-прежнему возможно в двух случаях:

1) равнодействующая R = 0;

2) равнодействующая R ¹ 0 и ее линия действия одновременно проходит через точки А и В.

Если в дополнение к этим двум уравнениям выполняется и третье уравнение (4.4), то это означает, что R_y = S Y_i = 0.

При условии, что R неперпендикулярна этой оси – отсюда будет следовать, что R = 0, то есть система сил уравновешена.

Аналогично можно доказать, что условия (4.2) будут следовать из уравнений (4.3) или (4.5).

 

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. В частном случае для плоской системы сходящихся или параллельных сил уравнения в системах (4.3), (4.4) или (4.5) будут линейно зависимы. Это означает, что определитель системы алгебраических уравнений для определения опорных реакций таких систем сил становится равным нулю.

Например, для системы сил параллельных оси Oy уравнения (4.3) станут линейно зависимыми вследствие того, что второе из уравнений этой системы обратится в тождество, которое выполняется как для уравновешенных, так и для неуравновешенных систем.

Такие уравнения исключают из системы, уменьшая тем самым общее число уравнений для плоской системы сходящихся или параллельных сил с трех до двух.

2. В соответствии с предыдущим замечанием уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oy, можно записать в двух формах:

1) Первая форма:

S M_A = 0; (4.6)

S Y = 0, где ось Oy неперпендикулярна силам системы.

 

2) Вторая форма:

S M_A = 0; (4.7)

S M_B = 0, где отрезок АВ непараллелен силам системы.

3. Таким образом, если при рассмотрении произвольной плоской системы сил выяснится, что она в действительности является системой сходящихся или параллельных сил, можно упростить решение задачи, воспользовавшись вместо (4.3)-(4.5) системой (4.6) или (4.7) – для параллельных или (2.10) – для сходящихся сил.

 

ГЛАВА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Система параллельных сил

Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, связанных с использованием полученных выше уравнений равновесия, введем дополнительные понятия, необходимые для решения практических задач.

Понятие о распределенной нагрузке. Наряду с рассмотренными выше сосредоточенными силами строительные конструкции и сооружения могут подвергаться воздействию распределенных нагрузок – по объему, по поверхности или вдоль некоторой линии – и определяемых ее интенсивностью.

Примером нагрузки, распределенной по площади, является снеговая нагрузка, давление ветра, жидкости или грунта. Интенсивность такой поверхностной нагрузки имеет размерность давления и измеряется в кН/м² или килопаскалях (кПа = кН/м²).

При решении задач очень часто встречается нагрузка, распределенная по длине балки. Интенсивность q такой нагрузки измеряется в кН/м.

Рассмотрим балку, загруженную на участке [ a, b ] распределенной нагрузкой, интенсивность которой изменяется по закону q = q (x). Для определения опорных реакций такой балки нужно заменить распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной. Это можно сделать по следующему правилу:

Равнодействующая распределенной нагрузки приложена в центре тяжести грузовой эпюры и равна численно ее площади:

Q = .

Напомним, в частности, что равнодействующая нагрузки, изменяющейся по треугольному закону, приложена в центре тяжести этого треугольника, который находится в точке пересечения его медиан. В свою очередь, точка пересечения медиан отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

Жесткое и скользящее защемления. Познакомимся еще с двумя видами связей в дополнение к рассмотренным ранее в § 1.5.

Чтобы объяснить, в чем суть жесткого защемления, вернемся к рассмотрению неподвижной опоры (Рис.1.8) Точка А твердого тела, закрепленная таким образом, не может перемещаться в горизонтальном и вертикальном направлениях – чему соответствуют составляющие реакции X_A = R_AХ и Y_A = R_AY, но при этом тело может поворачиваться вокруг этой точки.

Жесткое защемление (Рис.5.1) не только не допускает линейных перемещений закрепленной точки, но и дополнительно препятствует повороту тела вокруг нее. Проанализируем, что это означает.

Чтобы повернуть тело, к нему прикладывают пару сил или сосредоточенный момент. Если тело продолжает оставаться в положении равновесия, это означает, что активную пару уравновешивает реактивный момент M_A, который появляется в закрепленной части балки в дополнение к X_A и Y_A.

 

 

 

Скользящее защемление в отличие от жесткого не препятствует линейному смещению закрепленной точки балки в одном из направлений, например – горизонтальном (Рис.5.2). При этом в указанном направлении соответствующая составляющая опорной реакции будет равна нулю: R_A = Y_A, X_A = 0.

 

Пример 5.1. Определить опорные реакции балки (Рис.5.3а).

Решение. В качестве активной нагрузки выступает равнодействующая распределенной нагрузки Q = (1/2)× aq = (1/2)×3×2 = 3кН, линия действия которой проходит на расстоянии 1 м от левой опоры, сила натяжения нити Т = Р = 2 кН, приложенная на правом конце балки и сосредоточенный момент.

Поскольку последний можно заменить парой вертикальных сил, то действующая на балку нагрузка вместе с реакцией подвижной опоры В образует систему параллельных сил, поэтому реакция R_A будет также направлена вертикально (Рис.5.3б).

Для определения этих реакций целесообразно воспользоваться уравнениями равновесия в форме (4.7), поскольку в отличие от уравнений (4.6) они позволяют найти R_A и R_В независимо друг от друга.

 

S M_A = 0; - Q ×1 + R_В ×3 - M + Т ×5 = 0,

откуда

R_В = (1/3) (Q + M - Р ×5) = (1/3) (3 + 4 - 2×5) = - 1кН.

 

S M_B = 0; - R_A ×3 + Q ×2 - M + Т ×2 = 0, ð

 

 

R_A = (1/3) (Q ×2 - M + Р ×2) = (1/3) (3×2 - 4 + 2×2) = 2 кН.

Чтобы проверить правильность полученного решения, воспользуемся уравнением из системы (4.6):

 

S Y_i = R_A - Q + R_В + Т = 2 - 3 - 1 + 2 = 0,

 

то есть, задача решена правильно. ·

 

 

Пример 5.2. Найти опорные реакции консольной балки, загруженной распределенной нагрузкой (Рис.5.4а).

 

Решение. Равнодействующая распределенной нагрузки приложена в центре тяжести грузовой эпюры. Чтобы не искать положение центра тяжести трапеции, представим ее в виде суммы двух треугольников. Тогда заданная нагрузка будет эквивалентна двум силам: Q ₁ = (1/2)×3×2 = 3 кН и Q ₂ = (1/2)×3×4 = = 6 кН, которые приложены в центре тяжести каждого из треугольников (Рис.5.4б).

 

Опорные реакции жесткого защемления представлены силой R_A и моментом M_A, для определения которых удобнее использовать уравнения равновесия системы параллельных сил в первой форме, то есть (4.6):

 

 

 

S M_A = 0; ð M_A = 15 кН×м;

S Y = 0, ð R_A = 9 кН.

Для проверки воспользуемся уравнением S M_В = 0, где точка В находится на правом конце балки:

S M_В = M_A - R_A ×3 + Q ₁×2 + Q ₂×1 = 15 - 27 + 6 +6 = 0. ·

 

ПРИМЕЧАНИЕ. Наряду с термином «жесткое защемление» в литературе для обозначения этого типа связи применяется термин «жесткая заделка».