Произвольная плоская система сил

 

Переходя к рассмотрению примеров определения опорных реакций для систем, загруженных произвольной плоской системой сил, отметим, что решение поставленной задачи можно заметно упростить, если из предложенных форм уравнений равновесия (4.3) – (4.5) выбрать оптимальные и наметить рациональный путь их решения.

Поясним, что это означает. В общем случае матрица системы алгебраических уравнений является сплошь заполненной и имеет вид (а):

 

(а) (б) (в) (5.1)

где знаком «´» обозначены коэффициенты, отличные от нуля. Решение такой системы уравнений представляет наибольшие трудности.

Гораздо привлекательнее матрица треугольного вида, структура которой представлена на схеме (б). Она позволяет найти из первого уравнения первое неизвестное, затем, подставив его во второе уравнение, найти второе неизвестное и так далее.

Идеальной является представленная на схеме (в) диагональная матрица, при которой система распадается на отдельные уравнения, и неизвестные определяются независимо одно от другого.

Умение решать задачи и предполагает навыки составления системы уравнений с «хорошей» структурой – как приведенные на схемах (б) и (в).

В связи с этим может возникнуть вопрос, какую из предложенных форм уравнений равновесия (4.3) – (4.5) выбрать для этого?

Для того чтобы ответить на него, надо помнить, что:

1) это зависит от конкретной задачи;

2) в любой из форм уравнений равновесия присутствует моментное уравнение;

3) при составлении моментного уравнения в качестве моментной целесообразно выбирать точку, где пересекаются линии действия двух неизвестных опорных реакций из трех – в этом случае они не войдут в уравнение, и оно будет содержать только одно неизвестное;

4) если две неизвестных опорных реакции из трех параллельны, то при составлении уравнения в проекциях на ось последнюю следует направить так, чтобы она была перпендикулярна к двум первым реакциям – в этом случае уравнение будет содержать только последнее неизвестное;

5) при решении задачи систему координат надо выбирать так, чтобы ее оси были ориентированы так же, как большинство приложенных к телу сил системы.

 

Пример 5.3. Однородная балка весом Q = 600 Н и длиной l = 4 м опирается одним концом на гладкий пол, а промежуточной точкой В на столб высотой h = 3 м, образуя с вертикалью угол 30°. В таком положении балка удерживается веревкой, протянутой по полу. Определить натяжение веревки T и реакции столба - R_B и пола - R_A (Рис.5.5а).

Решение.Под балкой или стержнем в ТМ понимают тело, у которого поперечными размерами в сравнении с его длиной можно пренебречь. Таким образом, вес Q однородной балки приложен в точке С, где АС = 2 м.

1) Поскольку две неизвестных реакции из трех приложены в точке А, первым следует составить уравнение S M_A = 0, так как туда войдет только реакция R_B:

- R_B × АВ + Q × (l /2) × sin30° = 0,

 

где АВ = h / cos30°= 2 м.

 

Подставляя в уравнение, получим:

R_B ×2 = 600×2×(1/2) = 600,

откуда

R_B = 600/ (2 ) = 100 @ 173Н.

 

Аналогично из моментного уравнения можно было бы найти и реакцию R_A, выбрав в качестве моментной точку, где пересекаются линии действия R_B и Т. Другими словами, в этой задаче можно прийти к системе уравнений, матрица которых имеет структуру (5.1в). Однако это потребует дополнительных построений, поэтому проще воспользоваться первой формой уравнений равновесия, то есть уравнениями (4.3) со структурой (5.1б):

 

2) S X = 0; R_B × cos30° - Т = 0; ð Т = R_B × cos30°= 100 ×( /2) = 150 Н;

3) S Y = 0, R_B × sin30°- Q + R_A = 0; ð

R_A = Q - R_B ×sin30°= 600 - 50 @ 513 Н.

 

Таким образом, мы нашли Т и R_A через R_B, поэтому проверить правильность полученного решения можно с помощью уравнения: S M_B = 0, куда в явном или неявном виде войдут все найденные реакции:

R_A × АВ sin30°- Т × АВ cos 30° - Q × (АВ - l /2) × sin30°= 513×2 ×(1/2) -

- 150×2 ×( /2) - 600×(2 - 2)×(1/2) = 513× - 150×3 - 600×( -1) @

@ 513×1,73 - 450 - 600×0,73 = 887,5 - 888 = - 0,5.

Полученная в результате округления невязка D = - 0,5 называется абсолютной погрешностью вычисления.

Для того чтобы ответить на вопрос насколько точным является полученный результат, вычисляют относительную погрешность, которая определяется по формуле:

e = [½D½/min (½S⁺½,½S^-½)]×100% =

= [½- 0,5½/min (½887,5 ½,½- 888½)]×100% = (0,5/887,5) ×100% = 0,06%. ·

 

Пример 5.4. Определить опорные реакции рамы (Рис.5.6). Здесь и в дальнейшем, если не оговорено специально, все размеры на рисунках будем считать указанными в метрах, а силы - в килоньютонах.

 

 

Решение. Рассмотрим равновесие рамы, к которой в качестве активной приложена сила натяжения нити Т, равная весу груза Q.

1) Реакцию подвижной опоры R_B найдем из уравнения S M_A = 0. Чтобы при этом не вычислять плечо силы Т, воспользуемся теоремой Вариньона, разложив эту силу на горизонтальную и вертикальную составляющие:

 

R_B ×2 + Т sin30°×3 - Т cos30°×4 = 0; ð

R_B = (1/2)× Q (cos30°×4 - sin30°×3) = (5/4) × (4 - 3) кН.

 

2) Для вычисления Y_A составим уравнение S M_С = 0, где точка С лежит на пересечении линий действия реакций R_B и Х_A:

 

- Y_A ×2 + Т sin30°×3 - Т cos30°×2 = 0; ð

Y_A = (1/2)× Q (sin30°×3 -cos30°×2) = (5/4) × (3 -2 ) кН.

 

3) Наконец, находим реакцию Х_A:

 

S X = 0; Х_A - Т sin30° = 0; ð Х_A = Q sin30° = 5/2 кН.

 

Поскольку все три реакции были найдены независимо друг от друга, для проверки нужно взять уравнение, в которое входит каждая из них:

 

S M_D = Х_A ×3 - Y_A ×4 - R_B ×2 = 15/2 - 5× (3 -2 ) - (5/2) × (4 - 3) =

= 15/2 - 15 + 10 -10 +15/2 = 0. ·

 

 

Пример 5.5. Определить опорные реакции стержня, имеющего ломаное очертание (Рис.5.7а).

Решение. Заменяем распределенную нагрузку на каждом участке стержня сосредоточенными силами Q ₁ = 5 кН и Q ₂ = 3 кН, а действие отброшенного жесткого защемления - реакциями Х_A, Y_A и M_А (Рис.5.7б).

 

 

 

1) S M_А = 0; M_А - Q ₁×2,5 - Q ₂× 5,5 = 0; ð

M_А = 5 ×2,5 + 3 × 5,5 = 12,5 + 16,5 = 29 кНм.

2) S X = 0; Х_A + Q ₁× sina = 0; ð Х_A = - 5×(3/5) = - 3 кН.

3) S Y = 0; Y_A - Q ₁ cosa - Q ₂ = 0; ð Y_A = 5×(4/5) + 3 = 4 + 3 = 7 кН, так как sina = 3/5, cosa = 4/5.

Проверка: S M_В = 0; M_А + Х_A ×3 - Y_A ×7 + Q ₁ cosa×4,5 + Q ₁sina×1,5 + Q ₂× 1,5 =

= 29 -3×3 - 7×7 + 5×(4/5)×5 + 5×(3/5)×1,5 + 3×1,5 = 29 - 9 - 49 + 20 +4,5 +4,5 =

= 58 - 58 = 0.

 

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. При решении задач с большим числом нагрузок – например, при выполнении расчетно-проектировочных работ все вычисления удобнее делать в десятичных дробях. В этом случае все результаты и проверка будут получаться с некоторым приближением, но относительная погрешность независимо от величин определяемых реакций и даже при использовании самых скромных вычислительных средств не должна выходить за пределы 1% (см. пример 5.3).

2. Если проверка не выполняется и не удается найти ошибку, то нужно, во-первых, постараться ее локализовать, то есть выяснить, какие из вычисленных реакций найдены неверно, и воспользоваться для их определения альтернативными уравнениями. Во-вторых, можно воспользоваться следующим приемом, который вытекает из свойств систем линейных алгебраических уравнений: опорные реакции от заданной нагрузки равны сумме опорных реакций от каждой нагрузки в отдельности.

 

Расчет составных систем

Под составными системами будем понимать конструкции, состоящие из нескольких тел, соединенных друг с другом.

Прежде, чем переходить к рассмотрению особенностей расчета таких систем, введем следующее

Определение. Статически определимыми называются такие задачи и системы статики, для которых число неизвестных реакций связей не превышает максимально допустимого числа уравнений.

Если число неизвестных больше числа уравнений, соответствующие задачи и системы называются статически неопределимыми. При этом разность между числом неизвестных и числом уравнений называется степенью статической неопределимости системы.

Поясним это на следующих примерах.

1. Пусть центр невесомого идеального блока, рассмотренного в примере 2.2, удерживается при помощи не двух, а трех стержней: АВ, ВС и BD и нужно, как и раньше, определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.

С учетом условий задачи мы получим систему сходящихся сил, где для определения трех неизвестных: S_A, S_C и S_D можно составить по-прежнему систему только двух уравнений: S X = 0, S Y = 0. Очевидно, поставленная задача и соответствующая ей система будут статически неопределимыми.

2. Балка, жестко защемленная на левом конце и имеющая на правом конце шарнирно-неподвижную опору, загружена произвольной плоской системой сил (Рис.5.8).

Для определения опорных реакций можно составить только три уравнения равновесия: (4.3), (4.4) или (4.5), куда войдут 5 неизвестных опорных реакций: X_A, Y_A, M_A, X_B и Y_B. Поставленная задача будет дважды статически неопределимой.

Такую задачу нельзя решить в рамках теоретической механики, предполагая рассматриваемое тело абсолютно твердым.

 

 

 

Вернемся к изучению составных систем, типичным представителем которых является трехшарнирная рама (Рис. 5.9а). Она состоит из двух тел: AC и BC, соединенным ключевым шарниром C. На примере этой рамы рассмотрим два способа определения опорных реакций составных систем.

1 способ. Рассмотрим тело AC, загруженное заданной силой Р, отбросив в соответствии с аксиомой 7 все связи и заменив их соответственно реакциями внешних (X_A, Y_A) и внутренних (X_C, Y_C) связей (Рис. 5.9б).

Аналогично можно рассмотреть равновесие тела BC под действием реакций опоры В - (X_B, Y_B) и реакций в соединительном шарнире C - (X_C¢, Y_C ¢), где в соответствии с аксиомой 5: X_C = X_C¢, Y_C = Y_C ¢.

Для каждого из этих тел можно составить три уравнения равновесия, таким образом, общее число неизвестных: X_A, Y_A, X_C = X_C¢, Y_C = Y_C ¢, X_B , Y_B равняется суммарному числу уравнений, и задача является статически определимой.

Напомним, что по условию задачи требовалось определить только 4 опорные реакции, нам же пришлось проделать дополнительную работу, определяя реакции в соединительном шарнире. В этом и заключается недостаток данного способа определения опорных реакций.

2 способ. Рассмотрим равновесие всей рамы АВС, отбросив только внешние связи и заменив их неизвестными опорными реакциями X_A, Y_A, X_B , Y_B.

Полученная система состоит из двух тел и не является абсолютно твердым телом, поскольку расстояние между точками А и В может изменяться вследствие взаимного поворота обеих частей относительно шарнира С. Тем не менее можно считать, что совокупность сил, приложенных к раме АВС образует систему, если воспользоваться аксиомой отвердевания (Рис.5.9в).

Итак, для тела АВС можно составить три уравнения равновесия. Например:

S M_A = 0;

S X = 0; (5.2)

S Y = 0.

 

 

В эти три уравнения войдут 4 неизвестных опорных реакции X_A, Y_A, X_B и Y_B. Отметим, что попытка использовать в качестве недостающего уравнения, например такое: S M_В = 0 к успеху не приведет, поскольку это уравнение будет линейно зависимым с предыдущими. Для получения линейно независимого четвертого уравнения необходимо рассмотреть равновесие другого тела. В качестве него можно взять одну из частей рамы, например - ВС. При этом нужно составить такое уравнение, которое содержало бы «старые» неизвестные X_A, Y_A, X_B , Y_B и не содержало новых. Например, уравнение: S X ^(ВС) = 0 или подробнее: - X_С ¢ + X_B = 0 для этих целей не подходит, поскольку содержит «новое» неизвестное X_С ¢, а вот уравнение S M_С ^(ВС) = 0 отвечает всем необходимым условиям. Таким образом, искомые опорные реакции можно найти в следующей последовательности:

S M_A = 0; ð Y_B = Р /4;

S M_В = 0; ð Y_А = - Р /4;

S M_С ^(ВС) = 0; ð X_B = - Р /4;

S X = 0; ð X_А = -3 Р /4.

Для проверки можно использовать уравнение: S M_С ^(АС) = 0 или, подробнее: - Y_А ×2 + X_А ×2 + Р ×1 = Р /4×2 -3 Р /4×2 + Р ×1 = Р /2 - 3 Р /2 + Р = 0.

Отметим, что в это уравнение входят все 4 найденные опорные реакции: X_А и Y_А - в явной форме, а X_B и Y_B - в неявной, поскольку они были использованы при определении двух первых реакций.

 

Пример 5.6. Определить опорные реакции рамы (Рис.5.10а).

 

Решение. Как и в предыдущем примере, рама состоит из двух частей, соединенных ключевым шарниром С. Распределенную нагрузку, приложенную к левой части рамы, заменяем равнодействующей Q ₁, а к правой - равнодействующей Q ₂, где Q ₁ = Q ₂ = 2кН.

1) Находим реакцию R_B из уравнения S M_С ^(ВС) = 0: ð R_B = 1кН;

Рассмотрим равновесие всей рамы как абсолютно твердого тела. Поскольку Q ₁, Q ₂и R_B образуют систему параллельных сил, реакции в точке А будут представлены вертикально направленной силой R_А и реактивным моментом М_А (Рис.5.10б), поэтому дальнейшее решение этой задачи не отличается от рассмотренной в примере 5.2:

2) S M_А = 0; ð M_А = 4кНм;

3) S Y = 0; ð R_А = 3кН.

Проверка:

S M_С ^(АС) = M_А - R_А ×2 + Q ₁×1 = 4 - 3×2 + 2×1 = 6 - 6 = 0. ·

 

Пример 5.7. Определить опорные реакции рамы (Рис.5.11а).

 

 

Решение. В отличие от двух предыдущих примеров формальное определение опорных реакции в этой задаче требует совместного рассмотрения системы уравнений:

S M_А = 0; M + Y_В ×3 - X_B ×1 = 0;

S M_С ^(СВ) = 0; M + Y_В ×1 + X_B ×1 = 0.

Ее решением будет: X_B = - M /2; Y_В = - M /2.

Рассматривая затем равновесие всей рамы в целом, получим:

 

S Х = 0; X_А + X_B = 0; ð X_А = M /2;

S Y = 0; Y_А + Y_В = 0; ð Y_А = M /2.

Проверка. S M_С ^(АС) = X_А ×2 - Y_А ×2 = M - M = 0. ·

Пример 5.8. Определить реакции в опорах и в соединительном шарнире трехшарнирной арки (Рис.5.12а).

 

 

 

Решение. Опорные реакции находим так же, как для рамы на рис. (5.9):

1) S M_А = 0; ð Y_В = Р /2;

2) S M_С ^(СВ) = 0; ð Х_В = - Р /2;

3) S M_В = 0; ð Y_А = Р /2;

4) S Х = 0; ð X_А = Р /2.

Для определения реакций в соединительном шарнире нужно рассмотреть равновесие одной из частей рамы. При этом результат будет зависеть от того, к какой части считать приложенной силу Р. Например, считая эту силу приложенной к телу АС, получим из условий равновесия левой части (Рис.5.12б):

S Х ^(АС) = 0; ð X_C = – Р /2;

S Y ^(АС) = 0; ð Y_C = - Р /2.

А если считать силу Р поделенной поровну между левой и правой частями рамы, то Y_C будет равняться нулю. В общем случае эту силу можно поделить в любом соотношении между частями рамы, но в сумме с реакцией Y_C она всегда будет равняться - Р /2. ·