Лекции.Орг


Поиск:




Графическое определение равнодействующей сходящихся сил




Теорема 2.2. Равнодействующая системы сходящихся сил существует, приложена в центре системы, равна их геометрической (векторной) сумме и изображается замыкающей стороной силового многоугольника.

Для доказательства рассмотрим систему сходящихся сил, приложенных в центре О: (Рис.2.2).

 

 

По аксиоме параллелограмма две первых силы этой системы можно заменить равнодействующей R 1-2, которая изображается замыкающей стороной силового треугольника Oab и как вектор равна сумме векторов Р 1и Р 2:

 

(P 1, P 2) ~ R 1-2 = Р 1+ Р 2.

 

Затем точно так же можно найти равнодействующую силы R 1-2 и силы Р 3, откладывая от точки b вектор bc = Р 3:

 

(Р 1, Р 2, Р 3) ~ (R 1-2, Р 3) ~ R 1-3 = Р 1+ Р 2 + Р 3.

 

Продолжая эту процедуру, мы найдем равнодействующую всей системы:

(P 1, P 2,..., P n) ~ (R 1-(n -1) , P n) ~ (R 1- n ) ~ R = P i,

которая изображается замыкающей стороной силового многоугольника Oabcd.

Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил.

Универсальным для определения равнодействующей системы сходящихся сил является аналитический метод, к рассмотрению которого мы и переходим.

 

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник - отличный от первого.

2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.

 

Аналитическое задание силы

 

Термин «аналитический» в механике, как и в аналитической геометрии, означает применение системы координат при решении той или иной проблемы.

Определение. Проекцией силы Р на ось Ox называется взятая с знаком ± длина отрезка этой оси, заключенная между проекциями на неё начала и конца вектора силы.

Эту проекцию обычно обозначают как Px или X. В соответствии с определением она равна:

 

Px = XР ½× cos (Р, i) = P × cosa = (Р × i),

 

где i - единичный вектор оси Ox, а a - угол между ним и силой Р (Рис.2.3). Таким образом:

ì > 0, если 0 £ a< p/2;

Px í = 0, если a = p/2;

î < 0, если p/2 < a £ p.

 

Аналогично находится проекция силы Р на ось Oy.

Если проекцию силы на какую-либо ось умножить на орт этой оси, мы получим векторную величину, которая равна составляющей силы вдоль этой оси. Очевидно, сила Р является равнодействующей по отношению к своим составляющим, поэтому в соответствии с теоремой 2.2:

 

Р = Px × i + Py × j = i + Y × j.

 

 

 

Поставим следующую задачу. Пусть известны проекции силы на оси координат - X,Y,Z и координаты точки приложения этой силы - A (x, y, z), а нужно определить вектор силы Р.

Для ее решения построим прямоугольный параллелепипед с вершиной в точке А и со сторонами, равными соответственно X,Y,Z. При этом будем откладывать отрезок длиной X в положительном направлении оси, если X >0 и в противоположном направлении, - если X <0.

Умножая каждую из проекций на орт соответствующей оси, найдем составляющие искомой силы вдоль координатных осей, которые образуют систему сходящихся сил с центром в точке А. Равнодействующая этой системы, согласно теореме 2.2, будет также приложена в точке А и равна вектору:

 

Р = i + Y × j + k. (2.1)

 

Таким образом, равнодействующая пространственной системы трех сходящихся сил изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, как на сторонах.

Модуль и направление искомого вектора силы Р можно найти по формулам:

____________ Р = Ö X 2 + Y 2+ Z 2; cos (Р, i) = X / Р; cos (Р, j) = Y / Р; cos (Р, k) = Z / Р.  

(2.2)

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-02; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1146 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Лучшая месть – огромный успех. © Фрэнк Синатра
==> читать все изречения...

782 - | 743 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.012 с.