Теорема 2.2. Равнодействующая системы сходящихся сил существует, приложена в центре системы, равна их геометрической (векторной) сумме и изображается замыкающей стороной силового многоугольника.
Для доказательства рассмотрим систему сходящихся сил, приложенных в центре О: (Рис.2.2).
По аксиоме параллелограмма две первых силы этой системы можно заменить равнодействующей R 1-2, которая изображается замыкающей стороной силового треугольника Oab и как вектор равна сумме векторов Р 1и Р 2:
(P 1, P 2) ~ R 1-2 = Р 1+ Р 2.
Затем точно так же можно найти равнодействующую силы R 1-2 и силы Р 3, откладывая от точки b вектор bc = Р 3:
(Р 1, Р 2, Р 3) ~ (R 1-2, Р 3) ~ R 1-3 = Р 1+ Р 2 + Р 3.
Продолжая эту процедуру, мы найдем равнодействующую всей системы:
(P 1, P 2,..., P n) ~ (R 1-(n -1) , P n) ~ (R 1- n ) ~ R = 
P i,
которая изображается замыкающей стороной силового многоугольника Oabcd.
Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил.
Универсальным для определения равнодействующей системы сходящихся сил является аналитический метод, к рассмотрению которого мы и переходим.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник - отличный от первого.
2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.
Аналитическое задание силы
Термин «аналитический» в механике, как и в аналитической геометрии, означает применение системы координат при решении той или иной проблемы.
Определение. Проекцией силы Р на ось Ox называется взятая с знаком ± длина отрезка этой оси, заключенная между проекциями на неё начала и конца вектора силы.
Эту проекцию обычно обозначают как Px или X. В соответствии с определением она равна:
Px = X =½ Р ½× cos (Р, i) = P × cosa = (Р × i),
где i - единичный вектор оси Ox, а a - угол между ним и силой Р (Рис.2.3). Таким образом:
ì > 0, если 0 £ a< p/2;
Px í = 0, если a = p/2;
î < 0, если p/2 < a £ p.
Аналогично находится проекция силы Р на ось Oy.
Если проекцию силы на какую-либо ось умножить на орт этой оси, мы получим векторную величину, которая равна составляющей силы вдоль этой оси. Очевидно, сила Р является равнодействующей по отношению к своим составляющим, поэтому в соответствии с теоремой 2.2:
Р = Px × i + Py × j = X× i + Y × j.
Поставим следующую задачу. Пусть известны проекции силы на оси координат - X,Y,Z и координаты точки приложения этой силы - A (x, y, z), а нужно определить вектор силы Р.
Для ее решения построим прямоугольный параллелепипед с вершиной в точке А и со сторонами, равными соответственно X,Y,Z. При этом будем откладывать отрезок длиной X в положительном направлении оси, если X >0 и в противоположном направлении, - если X <0.
Умножая каждую из проекций на орт соответствующей оси, найдем составляющие искомой силы вдоль координатных осей, которые образуют систему сходящихся сил с центром в точке А. Равнодействующая этой системы, согласно теореме 2.2, будет также приложена в точке А и равна вектору:
Р = X× i + Y × j + Z× k. (2.1)
Таким образом, равнодействующая пространственной системы трех сходящихся сил изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, как на сторонах.
Модуль и направление искомого вектора силы Р можно найти по формулам:
| ____________ Р = Ö X 2 + Y 2+ Z 2; cos (Р, i) = X / Р; cos (Р, j) = Y / Р; cos (Р, k) = Z / Р. |
(2.2)
