Если приращение функции 
получено за счет приращения независимой переменной х при неизменном значении другой независимой переменной у, то приращение функции 
называется частным приращением функции по переменной 
и обозначается: 
Аналогично вводится понятие частного приращения функции по переменной у: 
.
Полным называется приращение функции, получаемое за счет приращения обеих независимых переменных х, у и обозначаемое
Частной производной по х от функции называется предел отношения 
к приращению 
при стремлении к нулю.
обозначаемый одним из символов: 
.
Аналогично определяется частная производная по у:
обозначаемый 
.
Частная производная по х вычисляется в предложении, что у – постоянная; частная производная по у вычисляется в предложении, что х – постоянная. Правила вычисления частных производных совпадают с правилами дифференцирования функции одного переменного.
Пример 10.1. Найти частные производные функции 
.
Решение. Полагая у постоянной, находим 
(производная по х от у5 равна нулю, как производная от постоянной).
При отыскании 
переменная х рассматривается как величина постоянная, а потому
.
Пример 10.2. Найти частные производные функции 
. Полагая при определении 
величину у постоянной, получим, что z – есть степенная функция: 
При нахождении , полагая х постоянной, получим, что z является показательной 
.
Пример 10.3. Показать, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
Найдем частные производные 
; 
Затем первую из них умножим на х, вторую – на у и результаты сложим:
что и требовалось доказать.
Пример 10.4. Вычислить частные производные функции
в точке 
. 
.
Полагая , вычисляем значение производных в указанной точке
.
Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично. Так, если 
, то
и так далее.
Пример 10.5. Для функции 
частные производные имеют вид: 
; 
.
Частные производные высших порядков.
Если задана функция 
, то ее частные производные и также являются функциями независимых переменных х и у и от каждой из них можно вычислить производные по х и у.
Частной производной второго порядка функции называется частная производная от частной производной первого порядка.
Каждую из частных производных первого порядка можно продифференцировать по каждой из двух независимых переменных и функция двух переменных имеет четыре частные производные второго порядка. Они обозначаются:
= 
, f дифференцируется последовательно два раза по х;
= 
, f дифференцируется по у, а потом результат дифференцируется по х;
= 
, f дифференцируется сначала по х, а потом результат дифференцируется по у;
, f дифференцируется последовательно два раза по у.
Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. Получим частные производные более высокого порядка.
Частная производная высшего порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
.
Если функция и ее частные производные 
определены и непрерывны в точке М (х, у) и ее окрестности, то
т.е. результат дифференцирования функции нескольких переменных не зависят от порядка дифференцирования.
Пример 10.6. Найти частные производные второго порядка функции
.
Сначала находим частные производные первого порядка
.
Затем искомые частные производные
.
Пример 10.7. 
. Показать, что 
.
Найдем: 
,
и 
.
Левая и правая части данного равенства равны
и данное равенство справедливо.
Дифференциал функции двух переменных и его приложение для приближенных вычислений.
Полным дифференциалом функции называется главная часть ее полного приращения линейная относительно приращений 
(или, что то же, дифференциалов 
). Полный дифференциал функции обозначается символом 
и вычисляется по формуле 
При достаточно малых приращениях аргументов полное приращение функции можно с малой относительной погрешностью заменять ее полным дифференциалом, т.е.
, откуда 
.
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше величины .
Пример 10.8. Вычислить приближенно 
.
Рассмотрим функцию вида 
. В точке (1;3) 
.
Положим 
и 
(попадаем в точку 
и 
). Тогда
и в точке (1;3) 
и 
