Рассмотрим 
. Если 
, 
, функции 
и 
удовлетворяют условиям теоремы Коши и 
существует, то 
(4.1.)
Формула (4.1) справедлива и в случае, если 
и 
. Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида 
и 
.
Пример 4.1. 
Подстановка предельного значения 
приводит к неопределенности вида 
, т.к. 
и 
,
, 
и 
.
Пример 4.2. 
.
Напомним, что 
, т.е. имеем неопределенность вида . Находим предел с помощью формулы (4.1):
.
Пример 4.3. 
. Здесь числитель и знаменатель одновременно стремятся к бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида 
Кроме того, 
и 
, т.е. необходимо применить правило Лопиталя два раза.
Неопределенности видов 
с помощью алгебраических преобразований можно привести к виду 
и применить правило Лопиталя.
Неопределенности вида 
и 
.
Если 
и 
при 
, то отыскание предела 
может быть сведено к одному из рассмотренных случаев, или с помощью тождественных преобразований: 
, или 
(4.2)
Если 
и 
при , то отыскание предела 
(неопределенность вида 
) может быть сведено к раскрытию неопределенности вида 
путем тождественного преобразования разности функций в произведение
. (4.3)
Иногда удобно пользоваться и другими преобразованиями:
, или 
. (4.4)
Неопределенности вида 
, 
, 
.
При отыскании предела функции 
могут представиться случаи:
1. 
, 
, т.е. ;
2. 
, 
, т.е. ;
3. 
т.е. .
Вычисление предела функции в этих случаях сводится к раскрытию неопределенности вида 
с помощью следующего преобразования:
. В силу непрерывности показательной функции, получим
(4.5)
или к раскрытию неопределенностей , с помощью логарифмирования данной функции.
Пример 4.4. 
.
Если 
, то 
и 
и имеем неопределенность вида . Преобразуем данную функцию по формуле (4.3)
Пример 4.5. 
Неопределенность вида . Преобразуем данную функцию по формуле (4.2) 
, в результате получим неопределенность вида при 
, что дает возможность применить правило Лопиталя.
Пример 4.6: 
Неопределенность вида 
, т.к. 
и 
Преобразуем функцию по формуле (4.5) и применим к показателю степени правило Лопиталя:
Пример 4.7. 
Неопределенность вида 
. Преобразуем функцию по формуле (4.5): 
.
Заменим переменную, положив 
. При 
имеем 
и находим предел в показателе:
Окончательно, 
.
Пример 4.8. 
Неопределенность вида 
. По формуле (4.5)
Пример 4.9:
(Неопределенность вида (
)). Обозначив 
, прологарифмируем функцию и найдем предел логарифма:
т.е. 
, т.к. 
непрерывная функция
и 
т.е. 
.
4.2 Формула Тейлора и её применения.
Пусть функция 
имеет в точке 
и некоторой её окрестности все производные до 
го порядка включительно. Пусть 
любое значение аргумента из указанной окрестности 
. Тогда между точками и 
найдется такая точка с, что справедлива следующая формула:
.
Эта формула называется формулой Тейлора.
Выражение 
, 
.
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Формулой Маклорена называют формулу Тейлора, когда 
.
,
где остаточный член, записанный в форме Лагранжа, имеет вид:
, .
Разложение некоторых функций по формуле Маклорена
1) 
; .
1. 
; .
2. 
.
3. 
;
.
4. 
.
Приложение формулы Маклорена.
Формула Маклорена дает возможность заменить функцию 
многочленом 
с контролируемой погрешностью, что позволяет использовать ее в приближенных вычислениях.
Пример 4.10. Найти приближенное значение 
с точностью до 
.
Решение. Представим заданный корень так: 
.
Воспользуемся биномиальным разложением
погрешность которого
может быть сделана как угодно малой при 
и достаточно большом 
.
Пусть 
и 
, тогда
.
Оценивая величины последовательных ошибок вычисления 
, находим
.
Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку 
, т.е. 
.
