Целесообразно исследовать функцию по некоторой общей схеме, позволяющей последовательно изучить ее особенности. Можно рекомендовать такой порядок:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Исследовать функцию на непрерывность, найти (если они существуют) точки разрыва и установить характер разрыва; найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
Отметим, что иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из особенностей функции. Может быть пополнен и перечень исследуемых характеристик (например вопросом о периодичности функции).
Первые две позиции более подробно рассмотрены в разделе 1.1. Обсудим третью – Точки пересечения графика с осями координат.
Пусть функция задана соотношением 
. Уравнения осей координат известны: 
и 
. Точки пересечения определятся как решения соответствующих систем уравнений:
(с осью 
) и 
(с осью 
)
Пример 5.1. 
Т.е. график функции пересекает ось в точках 
.
т.е. график пересекает ось в точке 
.
Непрерывность функции и характер точек разрыва рассмотрены в разделе 2. Напомним, что элементарная функция непрерывна во всей области определения. Т.е. исследовать нужно границы области D(f) и выколотые точки.
Пример 5.2. 
. Функция существует всюду, кроме точки 
. Рассмотрим пределы
и 
.
Т.о. – точка разрыва 2-го рода (бесконечный разрыв).
Обсудим проблему асимптот (и убедимся в том, что - уравнение вертикальной асимптоты).
Асимптотой графика 
называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.
Два вида асимптот – вертикальная и наклонная.
а) Вертикальной асимптотой кривой называется прямая 
(рис. 5.1), если выполнено хотя бы одно условий:
; (5.1) или 
. (5.2)
Для отыскания вертикальной асимптоты графика функции надо найти те значения , при которых функция обращается в бесконечность. Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение .
б) Наклонной асимптотой кривой называется прямая (рис 5.2), имеющая уравнение 
, если параметры 
и 
находятся по формулам:
, (5.3) и 
,(5.4)
Замечания:
1) Если хотя бы один из пределов не существует (или равен 
), то график функции асимптоты при 
не имеет.
2) Частным случаем наклонной асимптоты при 
и 
является горизонтальная асимптота (уравнение 
).
3) Если и 
, то горизонтальной асимптотой является ось .
4) Аналогично находятся асимптоты при 
.
Заметим, что пределы (5.3) и (5.4) могут быть различными при и , т.е. график функции может иметь две различные наклонные асимптоты при и (рис. 5.3, где 
асимптоты при , 
при ).
Продолжим обсуждение примера 5.2. Очевидно, что действительно уравнение вертикальной асимптоты. Проверим, существуют ли наклонные асимптоты. По формуле (5.3)
По формуле (5.4) 
Прямая 
наклонная асимптота (при 
и 
).
Пример 5.3. 
Функция не имеет вертикальных асимптот, т.к. она всюду непрерывна (не имеет разрывов).
Наклонная: 
, 
, т.е при 
кривая не имеет наклонной асимптоты;
(применено правило Лопиталя).
Итак, прямая 
(ось 
) есть горизонтальная асимптота при .
Интервалы монотонности (возрастания и убывания функции) и её экстремумы.
Функция 
называется монотонно возрастающей на интервале 
, если для любых 
из этого интервала выполнено условие
при 
Функция 
называется монотонно убывающей на интервале , если для любых из этого интервала выполнено условие
при
Дифференцируемая функция является монотонно возрастающей на интервале тогда и только тогда, когда 
при 
, (5.5)
и является монотонно убывающей, если 
при , (5.6)
Условие (5.5) геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует с положительным направлением оси 
острый угол или параллельна ей. Касательная к графику монотонно убывающей функции образует тупой угол с положительным направлением оси или параллельна ей.
Экстремумы функции – максимум и минимум.
Функция 
имеет максимум или минимум в точке 
(локальный экстремум), если существует окрестность (
; 
), для всех точек которой выполнено условие 
для максимума или 
для минимума. Точка максимума или минимума называется точкой экстремума.
Точка называется критической точкой первого рода, если:
1) 
(касательная к графику параллельна оси );
2) 
(касательная параллельна оси 
);
3) 
не существует (нет определенной касательной, например, как в угловой точке).
Наличие критической точки это необходимое условие экстремума.
Достаточным условием экстремума функции является перемена знака первой производной при переходе через критическую точку.
Отсюда правило исследования функции на экстремум:
1) Найти производную 
и критические точки, в которых 
, или 
, или не существует, а сама функция непрерывна, и которые принадлежат области определения функции.
2) Определить знак слева и справа от каждой критической точки.
Если при переходе аргумента 
через критическую точку 
:
1) меняет знак с «+» на «-», то 
точка максимума;
2) меняет знак с «-» на «+», то точка минимума;
3) не меняет знак, то в точке нет экстремума.
Далее следует найти экстремумы функции, т.е. вычислить значение функции в найденных точках экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Для отыскания этих точек на отрезке 
необходимо найти критические точки, принадлежащие этому отрезку и, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 5.4. Определить интервалы монотонности функций:
1) 
2) 
1) Данная функция всюду имеет производную
При 
, 
, поэтому, в силу условия (5.5), функция возрастает на интервале 
.
При 
и, по условию (5.6) убывает на интервале 
2) Функция 
имеет производную всюду, кроме точки 
, в которой сама функция не определена. На каждом из интервалов 
и 
определим знаки производной . Имеем
,
Для определения знака , выделим точки 
, в которой и , в которой . Итак, имеем три интервала 
, 
и . На интервале производная 
, на интервале 
, на интервале . Таким образом, функция убывает на интервалах и и возрастает на интервале 
Пример 5.5. Найти точки экстремума функции: 
Функция 
и её производная существует всюду, поэтому определим критические точки из условия 
. Продифференцируем функцию как произведение двух функций: 
.
Из условия 
находим, приравнивая нулю каждый множитель отдельно, критические точки (необходимое условие экстремума): 
; 
; 
.
Исследуем критические точки, определяя знак 
слева и справа от этой точки (первое достаточное условие экстремума). Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в таблицу:
| 
| 
|
| 
|
| 
| |
|
| - | + | - | + | |||
| 
Убыв.
| 
min
| 
Возр.
| 
max
| 
Убыв.
| 
min
| 
Возр.
|
В первой строчке помещены интервалы и критические точки в порядке расположения их на числовой оси. Во второй строке помещены знаки производной в промежутках между критическими точками. Например, берем 
и находим 
,т.е. 
на интервале , аналогично 
на интервале и при 
, и при 
. В третьей строке – заключение о поведении функции. С использованием условий (5.7) получаем, что в точках и функция имеет минимум, а в точке - максимум. Вычислим значения функции в этих точках: 
; 
, 
.
Пример 5.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
Найдем критические точки функции 
, лежащие внутри отрезка 
: 
.
Эти точки лежат внутри отрезка .
Вычислим значения функции на концах отрезка : 
, 
и в критических точках: 
, 
.
Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции на отрезке 
, а наименьшее 
. Итак, наибольшее значение при 
функция принимает на правом конце отрезка при 
, а наименьшее значение достигается в двух точках, в точке минимума функции и на левой границе отрезка, при .
