Исследование функций и построение графиков

Целесообразно исследовать функцию по некоторой общей схеме, позволяющей последовательно изучить ее особенности. Можно рекомендовать такой порядок:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти (если они существуют) точки разрыва и установить характер разрыва; найти асимптоты кривой.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

Отметим, что иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из особенностей функции. Может быть пополнен и перечень исследуемых характеристик (например вопросом о периодичности функции).

Первые две позиции более подробно рассмотрены в разделе 1.1. Обсудим третью – Точки пересечения графика с осями координат.

Пусть функция задана соотношением . Уравнения осей координат известны: и . Точки пересечения определятся как решения соответствующих систем уравнений:

(с осью ) и (с осью )

Пример 5.1.

Т.е. график функции пересекает ось в точках .

т.е. график пересекает ось в точке .

Непрерывность функции и характер точек разрыва рассмотрены в разделе 2. Напомним, что элементарная функция непрерывна во всей области определения. Т.е. исследовать нужно границы области D(f) и выколотые точки.

Пример 5.2. . Функция существует всюду, кроме точки . Рассмотрим пределы

и .

Т.о. – точка разрыва 2^-го рода (бесконечный разрыв).

Обсудим проблему асимптот (и убедимся в том, что - уравнение вертикальной асимптоты).

Асимптотой графика называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

Два вида асимптот – вертикальная и наклонная.

а) Вертикальной асимптотой кривой называется прямая (рис. 5.1), если выполнено хотя бы одно условий:

; (5.1) или . (5.2)

Для отыскания вертикальной асимптоты графика функции надо найти те значения , при которых функция обращается в бесконечность. Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение .

б) Наклонной асимптотой кривой называется прямая (рис 5.2), имеющая уравнение , если параметры и находятся по формулам:

, (5.3) и ,(5.4)

Замечания:

1) Если хотя бы один из пределов не существует (или равен ), то график функции асимптоты при не имеет.

2) Частным случаем наклонной асимптоты при и является горизонтальная асимптота (уравнение ).

3) Если и , то горизонтальной асимптотой является ось .

4) Аналогично находятся асимптоты при .

Заметим, что пределы (5.3) и (5.4) могут быть различными при и , т.е. график функции может иметь две различные наклонные асимптоты при и (рис. 5.3, где асимптоты при , при ).

Продолжим обсуждение примера 5.2. Очевидно, что действительно уравнение вертикальной асимптоты. Проверим, существуют ли наклонные асимптоты. По формуле (5.3)

По формуле (5.4)

Прямая наклонная асимптота (при и ).

Пример 5.3.

Функция не имеет вертикальных асимптот, т.к. она всюду непрерывна (не имеет разрывов).

Наклонная: , , т.е при кривая не имеет наклонной асимптоты;

(применено правило Лопиталя).

Итак, прямая (ось ) есть горизонтальная асимптота при .

Интервалы монотонности (возрастания и убывания функции) и её экстремумы.

Функция называется монотонно возрастающей на интервале , если для любых из этого интервала выполнено условие

при

Функция называется монотонно убывающей на интервале , если для любых из этого интервала выполнено условие

при

Дифференцируемая функция является монотонно возрастающей на интервале тогда и только тогда, когда при , (5.5)

и является монотонно убывающей, если при , (5.6)

Условие (5.5) геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует с положительным направлением оси острый угол или параллельна ей. Касательная к графику монотонно убывающей функции образует тупой угол с положительным направлением оси или параллельна ей.

Экстремумы функции – максимум и минимум.

Функция имеет максимум или минимум в точке (локальный экстремум), если существует окрестность (; ), для всех точек которой выполнено условие для максимума или для минимума. Точка максимума или минимума называется точкой экстремума.

Точка называется критической точкой первого рода, если:

1) (касательная к графику параллельна оси );

2) (касательная параллельна оси );

3) не существует (нет определенной касательной, например, как в угловой точке).

Наличие критической точки это необходимое условие экстремума.

Достаточным условием экстремума функции является перемена знака первой производной при переходе через критическую точку.

Отсюда правило исследования функции на экстремум:

1) Найти производную и критические точки, в которых , или , или не существует, а сама функция непрерывна, и которые принадлежат области определения функции.

2) Определить знак слева и справа от каждой критической точки.

Если при переходе аргумента через критическую точку :

1) меняет знак с «+» на «-», то точка максимума;

2) меняет знак с «-» на «+», то точка минимума;

3) не меняет знак, то в точке нет экстремума.

Далее следует найти экстремумы функции, т.е. вычислить значение функции в найденных точках экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Для отыскания этих точек на отрезке необходимо найти критические точки, принадлежащие этому отрезку и, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 5.4. Определить интервалы монотонности функций:

1) 2)

1) Данная функция всюду имеет производную

При , , поэтому, в силу условия (5.5), функция возрастает на интервале .

При и, по условию (5.6) убывает на интервале

2) Функция имеет производную всюду, кроме точки , в которой сама функция не определена. На каждом из интервалов и определим знаки производной . Имеем

,

Для определения знака , выделим точки , в которой и , в которой . Итак, имеем три интервала , и . На интервале производная , на интервале , на интервале . Таким образом, функция убывает на интервалах и и возрастает на интервале

 

Пример 5.5. Найти точки экстремума функции:

Функция и её производная существует всюду, поэтому определим критические точки из условия . Продифференцируем функцию как произведение двух функций: .

Из условия находим, приравнивая нулю каждый множитель отдельно, критические точки (необходимое условие экстремума): ; ; .

Исследуем критические точки, определяя знак слева и справа от этой точки (первое достаточное условие экстремума). Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в таблицу:

	-		+		-		+
	Убыв.	min	Возр.	max	Убыв.	min	Возр.

 

В первой строчке помещены интервалы и критические точки в порядке расположения их на числовой оси. Во второй строке помещены знаки производной в промежутках между критическими точками. Например, берем и находим ,т.е. на интервале , аналогично на интервале и при , и при . В третьей строке – заключение о поведении функции. С использованием условий (5.7) получаем, что в точках и функция имеет минимум, а в точке - максимум. Вычислим значения функции в этих точках: ; , .

Пример 5.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Найдем критические точки функции , лежащие внутри отрезка : .

Эти точки лежат внутри отрезка .

Вычислим значения функции на концах отрезка : , и в критических точках: , .

Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции на отрезке , а наименьшее . Итак, наибольшее значение при функция принимает на правом конце отрезка при , а наименьшее значение достигается в двух точках, в точке минимума функции и на левой границе отрезка, при .