Числовая последовательность – функция, определенная на множестве 
натуральных чисел 
. Если множество значений ограничено – последовательность ограниченная. Такая последовательность может иметь предел. Пределом называют число, если существует точное 
(номер члена последовательности) начиная с которого восполняется неравенство 
, где 
- сколько угодно малое положительное число. Обозначение: 
Пример 1.5. Вычислить предел последовательности
Решение задач упрощается, если школьный курс усвоен и есть навык алгебраических преобразований. Легко видеть, что в числителе дроби – арифметическая прогрессия 
; 
. Сумма членов 
, подставив в исходное выражение получим 
(поскольку предел суммы равен сумме пределов)= 
= 
(первые два слагаемых компенсируют друг друга, а предел постоянной равен самой постоянной)
1.3 Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины (функции). Замечательные пределы.
Говорят, что предел функции 
при 
(стремящемся к 
) равен 
, если для любого 
найдется 
такое, что 
если 
. 
. Предел может существовать и при 
, что записывают так: 
. Если при функция неограниченно возрастает пишут 
и функцию называют бесконечно большой при . Если 
функцию называют бесконечно малой при .
Из теорем о пределах напомним следующие:
1. 
, где 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
функции, имеющие предел.
Пример 1.6. а) найти предел 
Непосредственная подстановка приводит к неопределенности вида 
(этот символ означает, что при неограниченно возрастают 
и числитель и знаменатель). Разделим почленно на 
числитель и знаменатель дроби и найдем предел: 
Здесь и во всех других случаях пределы дробей с постоянным (или ограниченным числителем) и бесконечно возрастающим знаменателем равны нулю: 
Если показатель старшей степени многочлена в числителе выше, чем в знаменателе, то тот же прием приводит в пределе к выражению вида 
, где 
постоянная.
б) Найти предел 
.
Решение. Разделив почленно на 
, получим 
.
Если показатель старшей степени многочлена в числителе ниже, чем в знаменателе, то такой прием приводит в пределе к выражению вида 
.
в) Найти предел 
Решение. Разделив почденно числитель и знаменатель на , получим:
.
Пусть требуется найти предел функции 
при , где числитель и знаменатель – многочлены, которые при 
оба равны нулю. Приходим к неопределенности 
, которую можно раскрыть, воспользовавшись теоремой Безу: если многочлен при обращается в нуль, он делится на двучлен 
. Следовательно, числитель и знаменатель дроби можно разложить на множители:
После сокращения дроби на придем к пределу 
.
Если при и этот предел приведет к неопределенности 
, разложение на множители повторяют. В итоге неопределенность раскрывается.
Пример 1.7. а) Найти предел 
.
Решение. Так как при 
числитель 
и знаменатель 
, то оба эти квадратные трехчлена можно разложить на множители, один из которых будет 
. Разложение можно выполнить путем деления многочленов на двучлен 
:
б) Найти предел 
.
Решение. Подставляя 
, придем к неопределенности вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму 
с таким расчетом, чтобы избавиться от иррациональности в числителе и устранить неопределенность. Поскольку
, то
.
Существенно упрощает решение задач использование двух важных соотношений теории пределов, называемых первым 
и вторым 
замечательными пределами и следствий из них, аналитически записанных так: 
(1.1); 
(1.2); 
(1.3); 
(1.4).
Отметим, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида 
(основание степени 
, а показатель 
) и равен числу е, основанию натурального логарифма 
. Помимо перечисленных, встречаются неопределённости вида: 
Задача состоит в раскрытии неопределённостей при помощи тождественных преобразовании функции или подстановок.
Пример 1.8. а) 
Здесь тоже получаем неопределённость 
. Выполним тригонометрические преобразования, которые позволят воспользоваться первым замечательным пределом.
Получим: 
.
б) 
Решение. Подстановка х=0 приводит к неопределённости вида . Положим 
, тогда 5x=siny, 
Ясно, что при 
будет 
.
Придём к пределу: 
.
Если функция 
есть дробь, содержащая иррациональные выражения, то есть радикалы, и непосредственная подстановка при переходе к пределу при х=а приводит к неопределённости вида , раскрыть неопределённость часто оказывается возможным, если избавиться от иррациональности в числителе или знаменателе дроби или там и там одновременно.
в) Найти предел 
. Чтобы получить в скобках выражение вида 
, прибавим и вычтем единицу в числителе дроби:
, обозначим 2х-1=у, откуда 
если 
, то 
. Тогда:
В решении задачи можно было сделать и такую замену:
, откуда 
Если , то 
. Получим: 
г) Найти 
.
Решение. Пусть -4х=у, тогда 
При будет . Тогда
, следует заметить, что неопределённости вида 
сводятся различными приёмами к неопределённости вида или 
, раскрытие которых мы уже рассматривали в ряде простых случаев.
Пример 1.9. а) Вычислить 
, при подстановке х=2, получаем 
неопределённость вида 
. Преобразуем исходное выражение:
= 
.
б) Найти 
, при , 
, 
и мы имеем дело с неопределённостью вида 
.
Преобразуем: = 
=(напомним, что 
, если 
(и 
) непрерывны в окрестности точки а) = 
.