1.1.1Обозначения и термины:
1) 
, где 
- символ операций (формулы), выполняемых над х для получения соответствующего значения у (Аналитическое задание функции);
2) 
- область определения функции (совокупность значений х, для которой у определена и существует);
3) 
- область значений функции (совокупность значений у на 
);
4) Функция: чётна я, если 
; нечётная, если 
; общего вида, если 
Отметим, что если 
несимметрична относительно х=0, то функция – общего вида;
5) Функция периодическая, если существует такое 
, что 
. Т – период функции, наименьшее положительное значение Т – основной период.
Пример 1.1. Найти область определения функций:
а) 
б) 
.
Решение. а) Выражение 
имеет смысл при 
, где 
определён для х-2>0, т.е. 
, где 
. Числа +3; -3 не входят в область определения данной функции, так как обращают знаменатель 
в нуль, поэтому 
, где 
. Областью определения заданной функции является пересечение множеств 
и 
(см. рис. 1.1)
 |
Рис. 1. 1.
.
б) Действия, указанные формулой , выполнимы для таких значений х, при которых подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 
. Решая это неравенство методом интервалов, определяем 
(см. рис. 1.2).
 |
рис. 1.2
Пример 1.2. Найти область изменения функций:
а) 
(локон Аньези); б) 
.
Решение.
а) Очевидно, что 
и 
. Легко видеть, что определится как 
.
б) Известно, что 
, следовательно, 
и определится как 
. (при стремлении 
к –1 знаменатель положителен и стремится к 0).
Пример 1.3. Определите чётны или нечётны функции:
а) 
; б) 
Решение.
а) 
, т.е. 
и, в соответствии с определением, функции чётная.
б) 
, т.е. 
и 
. Функция общего вида.
Пример 1.4. Определить периодичность функций (и найти основной период, если он есть): а) 
; б) 
.
Решение.
а) В соответствии с определением ищем такое, что: 
. Раскрыв скобки, получим 
, откуда 
. 
- константа и равенство выполняется для любых х только при 
. Функция непериодическая.
б) Ищем из условия 
. Логарифмируя, получим 
. Известно, что 
- функция периодическая с наименьшим периодом 
. Следовательно, периодична и наша функция и 
.
1.1.2 Функция 
Как известно из школьного курса математики графиком прямой пропорциональности 
является прямая, проходящая через начало координат и составляющая с положительным направлением оси Ох угол 
, где 
. Число «k» называют угловым коэффициентом прямой.
1. Область определения функции - вся числовая прямая: 
.
2. Область значений – вся числовая прямая 
.
3. Функция - нечётная, непериодическая.
4. 0 (0;0) – точка пересечения прямой с осями координат.
5. Если 
, функция возрастает на всей области определения, если 
-убывает на всей области определения.
При 
функция постоянна – у=0 (график – ось Ох).
Графики прямых при различных «k» изображены на рис. 1.3
 |
Рис. 1.3.
1.1.3 Функция 
Функция вида , 
называется обратной пропорциональностью, её график – гиперболой.
1. Функция определена для любого отличного от нуля действительного числа: 
. Открытые лучи 
- интервалы непрерывности функции.
2. Область значений 
; 
.
Из пунктов 1 и 2 следует, что гипербола никогда не пересекает оси координат.
3. При функция убывает на любом интервале непрерывности, располагаясь в 1 и 3 четвертях (рис. 1.4(а)). При функция возрастает на любом интервале непрерывности, располагаясь во 2 и 4 четвертях (рис. 1.4(в)).
4. Ось Ох – горизонтальная асимптота; ось Оу – вертикальная асимптота графика функции .
5. Функция - нечётная: 
, поэтому гипербола состоит из двух непрерывных ветвей, симметричных относительно начала координат.
Графики обратной пропорциональности при различных коэффициентах «k» изображены на рис. 1.4 (а,в).
 | |||
 |
Рис.1.4
1.1.4 Функция 
1. Область определения функции 
. На всей числовой прямой функция непрерывна.
2. Область значений функции: 
.
3. Функция 
- чётная: 
. Ось Оу является осью симметрии графика функции. Функция непериодическая.
4. 0 (0;0) – точка пересечения графика функции с осями координат.
5. Если 
, то при 
функция убывает, а при 
- возрастает. При 
функция достигает своего минимума.
Если 
, то при функция возрастает, а при - убывает. При функция достигает максимума. График функции называется параболой.
В точке 0(0;0) функция достигает экстремума, эта точка называется вершиной параболы.
Из п.п.2 и 5 следует, что при ветви параболы направлены вверх, а при - вниз.
На рис. 1.5 изображены параболы при различных «а».
 | |||
 | |||
Рис. 1.5
