Рассмотрим поверхность, образованную вращением кривой 
вокруг оси 
(рис. 8.13). Площадь этой поверхности, если 
и 
гладкая на 
кривая определяется выражением
(8.15).
Пример 8.7. Найти площадь поверхности сферы, образованной вращением полуокружности 
вокруг оси (рис.8.16).
Решение. 
,
, 
Приложения определенного интеграла в задачах физики и химии.
1. Работа переменной силы. Если переменная сила 
действует в направлении оси , то работа, совершаемая этой силой по перемещению материальной точки на отрезке от 
до 
, равна 
.
2. Путь, пройденный точкой. Если точка перемещается по некоторой траектории с переменной скоростью 
, то путь, пройденный точкой за период времени от 
до 
, равен 
3. Масса прореагировавшего вещества. Если 
– переменная скорость химической реакции (см. п. 1.1), то масса вещества, вступившего в химическую реакцию за промежуток времени от 
до 
, равна 
.
4. Масса неоднородного стержня. Если дан тонкий неоднородный стержень с переменной линейной плотностью 
, и длина стержня равна 
, то его масса определяется формулой 
.
Несобственные интегралы.
8.5.1. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами).
Пусть функция 
определена на промежутке 
и для любого вещественного числа 
, 
существует 
называется несобственным интегралом 1 рода от функции на промежутке и обозначается символом 
.
Таким образом, по определению, 
(8.16.)
Если предел существует и конечен говорят, что несобственный интеграл (8.16) сходится; если конечного предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл (8.16) расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке 
: 
(8.17).
Несобственным интегралом от функции 
на промежутке 
называется предел 
при независимом стремлении 
и 
:
(8.18)
Если для некоторого вещественного числа 
сходится каждый из несобственных интегралов 
и 
, то сходится и неопределенный интеграл 
, причем 
.
Пример 8.8. Вычислить 
.
Решение. По определению несобственного интервала, имеем
, т.е. 
сходится. Рассмотренный интеграл выражает площадь заштрихованной области на рис. 8.17.
Пример 8.9. Вычислить 
.
Решение. 
, т.е. расходится.
Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интервал или расходуется, и оценить его значение. Сформулируем некоторые достаточные признаки сходимости.
1. Пусть для всех 
, 
, выполнено неравенство 
.
Тогда: 1) если 
сходится, то сходится и , при этом 
.
2) если расходится, то расходится и .
2. Если 
сходится, то сходится и .
Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится .
Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.
Пример 8.10. Исследовать сходимость 
.
Решение. Заметим, что 
. Но 
.
Следовательно, 
сходится. Значит, сходится и .
8.5.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций).
Пусть функция определена на промежутке 
, неограниченна на , но ограничена на любом промежутке 
, 
. В этом случае точку называют особой точкой. Предложим также, что 
существует для любого вещественного числа 
.
называется несобственным интегралом II рода от функции на промежутке и обозначается символом .
Таким образом, по определению (8.19).
Так как вещественное число , можно представить в виде 
, где 
, то равенство (8.19) можно записать в виде
.
Если предел существует и конечен говорят, что несобственный интеграл (8.19) сходится.
В случае, если конечного предела не существует, говорят, что несобственный интеграл расходится.
Выясним геометрический смысл . Если непрерывна на промежутке и 
, то есть площадь области, заключенной между осью абсцисс, графиком функции 
и прямым и (заштрихованная область на рис. 8.18).
Аналогично определяется несобственный интеграл , если 
особая точка: 
.
Если особой точкой является точка 
внутри промежутка , то полагают 
.
При этом считают, что сходится, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (8.20).
Замечания. 1. Понятие несобственного интеграла II рода легко переносится на случай, когда функция имеет конечное число особых точек.
2. Основные выводы п.8.5.1. легко переносятся и на случай несобственных интегралов II рода.
Пример 8.11. Вычислить или доказать расходимость 
.
Решение. 
точка бесконечного разрыва подынтегральной функции) 
(по определению несобственного интеграла второго рода)
. Интеграл расходится.
Пример 8.12. Попробуйте убедиться в том, что 
сходится.
