Основные теоремы о пределах. Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2: Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание: Ограниченная последовательность может быть расходящейся.

 

Теорема 3: Сумма (разность, произведение и частное) двух сходящихся последовательностей { х_n } и { у_n }, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности, произведению и частному) пределов последовательностей { х_n } и { у_n }.

 

Теорема 4: Если элементы сходящейся последовательности { х_n }, начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству х_n ³ b (х_n £ b), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству а ³ b (а £ b).

Определение предела функции на языке последовательностей даёт возможность рассматривать теоремы о пределах функций, как и теоремы о пределах последовательностей.

 

Теорема 5: Пусть функции f (x) и g (x) имеют в точке х ₀ пределы В и С. Тогда функции

· f (x)± g (x),

· f (x)· g (x)

· f (x)/ g (x) (при С ¹0)

имеют в точке х ₀ пределы, равные соответственно

· В ± С,

· В · С

· В / С.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 

Два замечательных предела.

Первый замечательный предел (0/0):

 

Второй замечательный предел (1^¥):

Лекция 8

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Эквивалентные бесконечно малые функции

Непрерывность функции в точке

 

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1: Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х ₀ (или при х ® х ₀), если .

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности.

 

Определение 2: Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = х ₀ (или при х ® х ₀), если .

Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при х ®¥, х ®+¥, х ®-¥, х ® х ₀-0, х ® х ₀+0.

 

Теорема: Функция, обратная бесконечно большой функции является бесконечно малой и наоборот.

 

Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций:

Пусть при х ® х ₀ функции a (х) и b (х) являются бесконечно малыми. Тогда:

1) если , то a (х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем b (х);

2) если , то a (х) и b (х) называются бесконечно малыми одного порядка;

3) если , то a (х) и b (х) называются эквивалентными бесконечно малыми и обозначается a (х)~ b (х).

4) если , то a (х) называется бесконечно малой n -го порядка относительно b (х);

Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения.

 

 

Эквивалентные бесконечно малые функции.

при х ®0: