Множество действительных чисел

Лекция 1

Множества.

Множество действительных чисел.

Виды числовых множеств.

Окрестность точки.

 

Математический анализ функций одной переменной.

 

Множества.

 

В математике все понятия делятся на первичные (основные неопределяемые понятия) и определяемые через первичные или уже известные. Первичными понятиями являются точка, прямая, плоскость и множество. Для всех остальных понятий будут даны определения.

 

Под множеством понимают совокупность некоторых элементов.

Определение 1: Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы — малыми буквами.

Если х — элемент множества X, то пишут х Î Х.

Если х не является элементом множества X, то пишут х Ï Х.

Запись Х ={ х ₁,..., х_n } означает, что множество X состоит из элементов х ₁,..., х_n. Аналогична запись Х ={ х ₁, х ₂, х ₃,...}.

Например:

· запись А ={0; 1; 25} – означает, что множество А состоит из трёх чисел 0; 1 и 25;

· запись А ={ х: 1< x <25} – означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено) чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1< x <25;

· запись А ={ х Î N | 1< x <25} – означает, что множество А состоит из всех натуральных чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1< x <25.

 

Множество может задаваться:

 

· путём перечисления его элементов, обычно перечислением задают конечные множества или списком;

· заданием выражением с указанием значений, принимаемых входящими в это выражение переменными;

· путём описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества.

 

Пусть X и Y —два множества.

 

Определение 2: Множество X содержится в Y (или X есть подмножество множества Y), если в X нет элементов, не принадлежащих Y (Х Ì Y или Y É X (X содержится в Y или Y содержит X).

· знак Ì - строгое включение;

· знак Í - нестрогое включение;

Если не оговорено, есть ли во множестве Y, ещё какие-либо элементы, кроме всех элементов множества X, то употребима запись X Í Y; в противном случае, когда оговорено, что во множестве Y есть ещё другие элементы, кроме всех элементов множества X, употребима запись X Ì Y.

 

Определение 3: Множества X и Y совпадают, если они состоят из одних и тех же элементов (Х = Y). Другими словами: Множества X и Y равны (совпадают), если Х Ì Y и Y Ì X.

 

Определение 4: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Пустое множество является подмножеством любого множества: ÆÌ Х.

 

При работе в конкретной предметной области обычно ограничиваются некоторой совокупностью объектов.

 

Определение 5: Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют основным, базовым (универсальным, универсумом) множеством и обозначается U. Или другими словами: все в дальнейшем рассматриваемые (в некотором контексте) множества являются его подмножествами. Данное понятие относительное.

 

Определение 6: Множество с установленным порядком расположения элементов называют упорядоченным.

 

Упорядоченное множество в отличие от просто множества записывают внутри круглых скобок.

 

Множества бывают конечными или бесконечными.

Определение 7: Если число элементов множества конечно — множество называется конечным.

 

Определение 7: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества (численностью, размером, нормой, длиной и др.) и обозначается | А |.

 

Определение 8: Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимнооднозначное соответствие с элементами множества натуральных чисел, то говорят, что множество счётно.

 

Операции над множествами.

Для визуализации отношений между множествами и операций над множествами обычно используются диаграммы Эйлера-Венна, на которых представлены результаты операций над множествами точек как над геометрическими фигурами на плоскости. Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей (кругов или овалов) внутри этого прямоугольника.

 

Определение 1: Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств, то есть или А, или В:

По аналогии с алгеброй чисел объединение иногда называют суммой множеств, так как операция объединения множеств обладает многими свойствами операции сложения чисел.

Определение 2: Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит обоим этим множествам, то есть и А, и В:

По аналогии с алгеброй чисел пересечение иногда называют произведением множеств, так как операция пересечения множеств обладает многими свойствами операции умножения чисел.

 

Определение 3: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В:

Множество А\В называется также дополнением множества В относительно множества А.

Определение 4: Если U – универсальное множество и А Ì U, то разность U\A называется дополнением множества А до множества U, или просто дополнением множества А и обозначается Ā:

 

Определение 5: Симметрической разностью двух множеств А и В называется новое множество, обозначаемое А D В и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А \ В или В \ А:

 

Пример:

Выписать все подмножества трёхэлементного множества М ={ а, b, c }.

М

{ а, b, c }

 

{ а, b } { а, c } { b, c }

 

{ а } { b } { c }

 

Æ

 

Определение 6: Алгебра множеств — это непустая система подмножеств (некоторого множества U), замкнутая относительно операций объединения, пересечения, дополнения и симметрической разности.

Например, алгебра натуральных чисел незамкнута относительно вычитания.

 

В теории алгебры множеств множестваÆ и U играют такую же роль, что и числа 0 и 1 в теории алгебры чисел.

 

Основные свойства алгебры множеств:

 

	Объединение È	Пересечение Ç	Разность \	Симметрическая разность D
Коммутативность	А È В = В È А	А Ç В = В Ç А	¾	А D В = В D А
Ассоциативность	(А È В)È С = А È(В È С)	(А Ç В)Ç С = А Ç(В Ç С)	¾	(А D В)D С = А D(В D С)
Дистрибутивность	(А Ç В)È С =(А Ç С)È(В Ç С)	(А È В)Ç С =(А È С)Ç(В È С)	¾	¾
Дистрибутивность	(А \ В)È С =(А \ С)È(В \ С)	(А \ В)Ç С =(А \ С)Ç(В \ С)	¾	¾
	А È А =	А Ç А =	А \ А =	А D А =Æ
	А È Ā =	А Ç Ā =	А \ Ā =	А D Ā =
	Ā È А =	Ā Ç А =	Ā \ А =	Ā D А =
	А ÈÆ=	А ÇÆ=	А \Æ=	А DÆ= А
	ÆÈ А =	ÆÇ А =	Æ\ А =	ÆD А = А
	А È U =	А Ç U =	А \ U =	А D U =
	U È А =	U Ç А =	U \ А =	U D А =
	U ÈÆ=	U ÇÆ=	U \Æ=	U DÆ=
	ÆÈ U =	ÆÇ U =	Æ\ U =	ÆD U =
Законы де Моргана			¾	¾
				¾

 

Множество действительных чисел.

Рассмотрим аксиоматический метод введения вещественного (действительного) числа.

Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных и` Q (I) иррациональных чисел.

 

Определение 1: Рациональным называется число, которое можно представить в виде p / q, где р и q — целые числа, причем q ¹0.

 

Определение 2: Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным.

 

Всякое рациональное число p / q является либо целым, либо его можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.

Всякое иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.