Лекции.Орг
 

Категории:


Объективные признаки состава административного правонарушения: являются общественные отношения, урегулированные нормами права и охраняемые...


Архитектурное бюро: Доминантами формообразования служат здесь в равной мере как контекст...


Транспортировка раненого в укрытие: Тактика действий в секторе обстрела, когда раненый не подает признаков жизни...

Множество действительных чисел



Лекция 1

Множества.

Множество действительных чисел.

Виды числовых множеств.

Окрестность точки.

 


Математический анализ функций одной переменной.

 

Множества.

 

В математике все понятия делятся на первичные (основные неопределяемые понятия) и определяемые через первичные или уже известные. Первичными понятиями являются точка, прямая, плоскость и множество. Для всех остальных понятий будут даны определения.

 

Под множеством понимают совокупность некоторых элементов.

Определение 1: Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы — малыми буквами.

Если х — элемент множества X, то пишут хÎХ.

Если х не является элементом множества X, то пишут хÏХ.

Запись Х={х1, ..., хn} означает, что множество X состоит из элементов х1, ..., хn. Аналогична запись Х={х1, х2, х3, ...}.

Например:

· запись А={0; 1; 25} – означает, что множество А состоит из трёх чисел 0; 1 и 25;

· запись А={х: 1<x<25} – означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено) чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1<x<25;

· запись А={хÎN| 1<x<25} – означает, что множество А состоит из всех натуральных чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1<x<25.

 

Множество может задаваться:

 

· путём перечисления его элементов, обычно перечислением задают конечные множества или списком;

· заданием выражением с указанием значений, принимаемых входящими в это выражение переменными;

· путём описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества.

 

Пусть X и Y—два множества.

 

Определение 2: Множество X содержится в Y (или X есть подмножество множества Y), если в X нет элементов, не принадлежащих Y (ХÌY или YÉX (X содержится в Y или Y содержит X).

· знак Ì - строгое включение;

· знак Í - нестрогое включение;

Если не оговорено, есть ли во множестве Y, ещё какие-либо элементы, кроме всех элементов множества X, то употребима запись XÍY; в противном случае, когда оговорено, что во множестве Y есть ещё другие элементы, кроме всех элементов множества X, употребима запись XÌY.

 

Определение 3: Множества X и Y совпадают, если они состоят из одних и тех же элементов (Х=Y). Другими словами: Множества X и Y равны (совпадают), если ХÌY и YÌX.

 

Определение 4: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Пустое множество является подмножеством любого множества: ÆÌХ.

 

При работе в конкретной предметной области обычно ограничиваются некоторой совокупностью объектов.

 

Определение 5: Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют основным, базовым (универсальным, универсумом) множеством и обозначается U. Или другими словами: все в дальнейшем рассматриваемые (в некотором контексте) множества являются его подмножествами. Данное понятие относительное.

 

Определение 6: Множество с установленным порядком расположения элементов называют упорядоченным.

 

Упорядоченное множество в отличие от просто множества записывают внутри круглых скобок.

 

Множества бывают конечными или бесконечными.

Определение 7: Если число элементов множества конечно — множество называется конечным.

 

Определение 7: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества (численностью, размером, нормой, длиной и др.) и обозначается |А|.

 

Определение 8: Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимнооднозначное соответствие с элементами множества натуральных чисел, то говорят, что множество счётно.

 


Операции над множествами.

Для визуализации отношений между множествами и операций над множествами обычно используются диаграммы Эйлера-Венна, на которых представлены результаты операций над множествами точек как над геометрическими фигурами на плоскости. Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей (кругов или овалов) внутри этого прямоугольника.

 

Определение 1: Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств, то есть или А, или В:

По аналогии с алгеброй чисел объединение иногда называют суммой множеств, так как операция объединения множеств обладает многими свойствами операции сложения чисел.

Определение 2: Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит обоим этим множествам, то есть и А, и В:

По аналогии с алгеброй чисел пересечение иногда называют произведением множеств, так как операция пересечения множеств обладает многими свойствами операции умножения чисел.

 

Определение 3: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В:

Множество А\В называется также дополнением множества В относительно множества А.

Определение 4: Если U – универсальное множество и АÌU, то разность U\A называется дополнением множества А до множества U, или просто дополнением множества А и обозначается Ā:

 

Определение 5: Симметрической разностью двух множеств А и В называется новое множество, обозначаемое АDВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А\В или В\А:

 

Пример:

Выписать все подмножества трёхэлементного множества М={а, b, c}.

М

 
 


{а, b, c}

           
     
 
 

 


{а, b} {а, c} {b, c}

           
     
 

 


{а } {b} { c}

           
     
 

 


Æ

 

Определение 6: Алгебра множеств — это непустая система подмножеств (некоторого множества U), замкнутая относительно операций объединения, пересечения, дополнения и симметрической разности.

Например, алгебра натуральных чисел незамкнута относительно вычитания.

 

В теории алгебры множеств множестваÆ и U играют такую же роль, что и числа 0 и 1 в теории алгебры чисел.

 


Основные свойства алгебры множеств:

 

  Объединение È Пересечение Ç Разность \ Симметрическая разность D
Коммутативность АÈВ=ВÈА АÇВ=ВÇА ¾ АDВ=ВDА
Ассоциативность (АÈВС=АÈ(ВÈС) (АÇВС=АÇ(ВÇС) ¾ (АDВ)DС=АD(ВDС)
Дистрибутивность (АÇВС=(АÇС)È(ВÇС) (АÈВС=(АÈС)Ç(ВÈС) ¾ ¾
Дистрибутивность (А\ВС=(А\С)È(В\С) (А\ВС=(А\С)Ç(В\С) ¾ ¾
  АÈА= АÇА= А\А= АDА
  АÈĀ= АÇĀ= А\Ā= АDĀ=
  ĀÈА= ĀÇА= Ā\А= ĀDА=
  АÈÆ= АÇÆ= А\Æ= АDÆ=А
  ÆÈА= ÆÇА= Æ\А= ÆDА=А
  АÈU= АÇU= А\U= АDU=
  UÈА= UÇА= U\А= UDА=
  UÈÆ= UÇÆ= U\Æ= UDÆ=
  ÆÈU= ÆÇU= Æ\U= ÆDU=
Законы де Моргана ¾ ¾
     
      ¾

 


Множество действительных чисел.

Рассмотрим аксиоматический метод введения вещественного (действительного) числа.

Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных и`Q (I) иррациональных чисел.

 

Определение 1: Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем q¹0.

 

Определение 2: Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным.

 

Всякое рациональное число p/q является либо целым, либо его можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.

Всякое иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.

 





Дата добавления: 2016-11-02; просмотров: 1867 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. I. Организационный момент. 1. Разгадайте правило, по которому записан каждый ряд чисел и продолжите его
  2. I. Организационный момент. 1. Суммы трех чисел, написанных вдоль сторон треугольника, имеют одинаковые значения
  3. III. Сообщение темы урока. – Сегодня мы продолжим выполнять сложение и вычитание двузначных чисел и будем учиться решать и преобразовывать задачи
  4. IV. Изучение нового материала. В учебнике показано, как с помощью цветных палочек познакомить второклассников с правилами поразрядного сложения и вычитания чисел в пределах 100
  5. IV. Работа над темой урока. – Прочитайте математические записи, используя выражения: «сумма чисел», «разность чисел», «уменьшить на»
  6. MIPS (Mega Instruction Per Second мил оп сек для чисел с фик. Точкой)
  7. V. Повторение пройденного материала. Учащиеся выполняют вычисления, используя знание таблицы сложения и вычитания чисел в пределах 20
  8. V. Повторение пройденного материала. – Что такое «разность» чисел?
  9. А. множество объектов, объединенных единой закономерностью
  10. Алгебраическое представление двоичных чисел
  11. Аминокислотный состав белков. В состав белков входит множество различных аминокислот, отличающихся строением радикала
  12. Б) На рынке оперирует множество покупателей и продавцов


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.