Определение 6: Функция называется явной, если она задана формулой y = f (x).
Определение 7: Функция называется неявной, если она задана уравнением F (x; у)=0.
Способы задания функции.
Существуют три основных способа задания функций: аналитический, табличный и графический.
1) Аналитический способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие и в каком порядке действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.
2) Табличный способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью указанной таблицы. Область определения – множество чисел, расположенных в первой строке (столбце) таблицы, область значений – множество чисел, расположенных во второй строке (столбце) таблицы. Так задаются функции с конечными значениями.
3) Графический способ - зависимость между переменными задаётся посредством графика.
Определение 1: Если на некотором множестве X определена функция z = j (x) со множеством значений Z, а на множестве Z - функция y = f (z), то функция у = f [ j (х)] называется сложной функцией от х (или суперпозицией функций j (x)и f (z)), а переменная z - промежуточной переменной сложной функции.
Определение 2: Пусть X и Y —некоторые множества и пусть задана функция f, т. е. множество пар чисел (х; у) (х Î X, у Î Y), в котором каждое число х входит в одну и только одну пару, а каждое число y - по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, то получим множество пар чисел (у; х), которое называется обратной функцией j к функции f.
Обратная функция в данном понимании может функцией и не являться.
Функция может быть задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:
Классификация функций.
Определение 1: Простейшими элементарными функциями являются:
· постоянная функция f (х)= С, С =const,
· степенная функция f (х)= хa (a —любое число),
· показательная функция f (х)= ах (0< а ¹1),
· логарифмическая функция f (х)= logaх (0< а ¹1),
· тригонометрические функции f (х)= sinx, f (х)= cosx, f (х)= tgx, f (х)= ctgx,
· обратные тригонометрические функции f (х)= arcsinx, f (х)= arccosx, f (х)= arctgх, f (х)= arcctgx.
Определение 2: Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций.
На основании определения следует, что элементарные функции являются функции заданные аналитически.
Классификация элементарных функций:
1) Функция вида Р (х)= a 0 хm + a 1 хm -1+…+ am -1 х + am, где m ³0 - целое число, a 0, a 1, …, am -1, am любые числа — коэффициенты (а 0¹0), называется целой рациональной функцией или многочленом степени m. Многочлен первой степени называется также линейной функцией.
2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций
, называется дробно-рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных (1) и дробно-рациональных (2) функций образует класс рациональных функций.
3) Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной.
Алгебраические функции: рациональные (1 и 2) и иррациональные (3).
4) Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной функцией.
Лекция 6
Числовая последовательность
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Предел числовой последовательности
