Заметим, что не всякая линия является графиком функции

Определение 6: Функция называется явной, если она задана формулой y = f (x).

Определение 7: Функция называется неявной, если она задана уравнением F (x; у)=0.

Способы задания функции.

Существуют три основных способа задания функций: аналитический, табличный и графический.

1) Аналитический способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие и в каком порядке действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.

2) Табличный способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью указанной таблицы. Область определения – множество чисел, расположенных в первой строке (столбце) таблицы, область значений – множество чисел, расположенных во второй строке (столбце) таблицы. Так задаются функции с конечными значениями.

3) Графический способ - зависимость между переменными задаётся посредством графика.

Определение 1: Если на некотором множестве X определена функция z = j (x) со множеством значений Z, а на множестве Z - функция y = f (z), то функция у = f [ j (х)] называется сложной функцией от х (или суперпозицией функций j (x)и f (z)), а переменная z - промежуточной переменной сложной функции.

Определение 2: Пусть X и Y —некоторые множества и пусть задана функция f, т. е. множество пар чисел (х; у) (х Î X, у Î Y), в котором каждое число х входит в одну и только одну пару, а каждое число y - по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, то получим множество пар чисел (у; х), которое называется обратной функцией j к функции f.

Обратная функция в данном понимании может функцией и не являться.

Функция может быть задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:

Классификация функций.

Определение 1: Простейшими элементарными функциями являются:

· постоянная функция f (х)= С, С =const,

· степенная функция f (х)= х^a (a —любое число),

· показательная функция f (х)= а^х (0< а ¹1),

· логарифмическая функция f (х)= log_aх (0< а ¹1),

· тригонометрические функции f (х)= sinx, f (х)= cosx, f (х)= tgx, f (х)= ctgx,

· обратные тригонометрические функции f (х)= arcsinx, f (х)= arccosx, f (х)= arctgх, f (х)= arcctgx.

Определение 2: Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций.

На основании определения следует, что элементарные функции являются функции заданные аналитически.

Классификация элементарных функций:

1) Функция вида Р (х)= a ₀ х^m + a ₁ х^m ^-1+…+ a_m _-1 х + a_m, где m ³0 - целое число, a ₀, a ₁, …, a_m _-1, a_m любые числа — коэффициенты (а ₀¹0), называется целой рациональной функцией или многочленом степени m. Многочлен первой степени называется также линейной функцией.

2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций

, называется дробно-рациональной функцией.

Совокупность целых рациональных (1) и дробно-рациональных (2) функций образует класс рациональных функций.

3) Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной.

Алгебраические функции: рациональные (1 и 2) и иррациональные (3).

4) Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной функцией.

Лекция 6

Числовая последовательность

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Предел числовой последовательности