Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней

Среди корней многочлена могут быть и комплексные.

Теорема 1: Если a= а + ib корень многочлена (r -кратный) с вещественными коэффициентами, то сопряженное комплексное число`a= а - ib, также корень многочлена (r -кратный).

Перемножив два множителя (с сопряжёнными комплексными корнями) получаем:

Таким образом, произведение множителей, соответствующих сопряжённым комплексным корням, можно представить в виде квадратного трёхчлена с вещественными коэффициентами.

Теорема 2: Каждый многочлен с действительными коэффициентами Q (x) может быть представлен в виде произведения множителей с действительными коэффициентами первой и второй степеней соответствующей кратности:

Q (x)= A ₀(x - а ₁) ^k ¹(x - а ₂) ^k ²…(x - а_r) ^k ^r(x ²+ p ₁ x + q ₁) ^l ¹… (x ²+ p_sx + q_s) ^l ^s,

где k ₁+ k ₂+…+ k_r +2 l ₁+2 l ₂+…+2 l_s = n.

Лекция 5

Разложение рациональной функции на элементарные дроби

Полярная система координат

Понятие функции

Способы задания функции

Классификация функций

Разложение рациональной функции на элементарные дроби.

Теорема 1: Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q (x) представим в виде:

Q (x)= А (x - a) ^r (x - b) ^s …(x ²+ px + q) ^t (x ²+ ux + v) ^l,

то эту функцию можно представить единственным образом в виде:

Данное разложение называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.

Метод неопределённых коэффициентов: Умножим обе части разложения на Q (x) и приравняем коэффициенты, стоящие при равных степенях. Решим систему уравнений первой степени.

Теорема 2: Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, то выполнив деление получим:

где W (x) — некоторый многочлен, а R (x) — многочлен степени меньше, чем Q (x).

Полярная система координат.

Определение 1: Полярная система координат состоит из некоторой точки О - полюса, и исходящего из неё луча ОМ - полярной оси и задаётся единица масштаба для измерения длин отрезков.

Определение 2: Полярными координатами точки М называются числа r и j. При этом число r - полярный радиус, число j - полярный угол. М (r; j), где 0£ r <+¥; и обычно 0£ j £2 p.

Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. Будем предполагать, что точка (0; 0) находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные координаты r и j

(М (х; у)«М (r; j)), тогда

· -выражение прямоугольных координат через полярные;

· - выражение полярных координат через прямоугольные.

Понятие функции.

Пусть X и Y —некоторые числовые множества.

Определение 1: Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (х; у) таких, что х Î Х, y Î Y и каждое х входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое у входит по крайней мере в одну пару. При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число у и пишут y = f (x).

Определение 2: Число у называется значением функции f в точке х.

Определение 3: Переменную y называют зависимой переменной (или функцией), а переменную х - независимой переменной (или аргументом).

Определение 4: Множество X - область определения (или существования) функции, а множество Y - область значений функции.

Определение 5: Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянная функция часто обозначается буквой С (f (x)= C).

На плоскости функцию изображают в виде графика – множеств точек (x; у), координаты которых связаны соотношением у = f (х), называемым уравнением графика.