Символ R (x; y) здесь и в дальнейшем обозначает дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной функцией двух переменных х, у. Если знаменатель постоянная величина (многочлен нулевой степени), то рациональная функция называется целой.
Аналогично определяется рациональная функция трёх переменных R (x; y; z), четырёх и т.д.
Интеграл вида
где a, b, … - рациональные числа, а p, q, r, s – постоянные величины (числовые или буквенные) приводится к интегралу рациональной функции и, значит выражается через элементарные функции, при помощи подстановки:
В частности, интеграл
вычисляется подстановкой х = tn.
Замечание: Приведение данного интеграла к интегралу рациональной функции называют рационализацией.
Подстановки Эйлера.
Интегралы вида:
рационализируются одной из подстановок Эйлера:
Первая подстановка Эйлера применима при a >0:
Члены, содержащие х 2 взаимно уничтожаются, и х (а значит, и dx) выражается через t рационально.
Третья подстановка Эйлера применима всякий раз, когда трёхчлен 
имеет действительные корни, и, в частности, при a<0. Пусть корни будут х1 и х2, тогда полагаем
Рациональное выражение радикала находим так:
Замечание: первая и третья подстановки Эйлера достаточны, чтобы вычислить любой интеграл, рассматриваемого вида.
Вторая подстановка Эйлера применима при c >0:
возводя в квадрат и деля затем на х, получаем рациональное выражение х через t.
§52 Определённый интеграл.
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [ а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а = x 0< x 1< x 2<…< xn = b.
Обозначим это разбиение через t, а точки x 0, x 1, x 2, …, xn, будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [ хi -1, хi ] выберем произвольную точку xi (хi -1£ xi £ хi). Через Dхi - обозначим разность хi - хi -1 которую будем называть длиной частичного отрезка [ хi -1, хi ]. Составим сумму: 
, которую назовём интегральной суммой для функции f (x) на [ a; b ], соответствующей данному разбиению [ a; b ] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек xi.
Геометрический смысл суммы s: сумма площадей прямоугольников с основаниями Dx 1, Dx 2, …, Dxn и высотами f (x 1), f (x 2),…, f (xn), если f (x)³0.
Определение 1: Если существует конечный предел I интегральной суммы при (l ®0 – наибольшая из длин всех частичных промежутков) Dхi ®0, то этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [а, b ].
В этом случае f (x) – называется интегрируемой на [ а, b]. Числа а и b – называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – называется подынтегральной функцией, х – переменная интегрирования.
§53 Основные свойства определённого интеграла.
· Если а = b, то 
;
· Если а > b, то 
;
· Каковы бы ни были числа а, b и с, всегда имеет место равенство: 
;
· Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла: 
;
· Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов: 
;
· Если всюду на отрезке [ а, b ] функция f (x)³0, то 
;
· Если всюду на отрезке [ а, b ] функция f(x)³g(x), то 
.
Теорема о среднем: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ а, b ], то на этом отрезке существует точка с такая, что 
.
Геометрический смысл теоремы: величина определённого интеграла при f (x)³0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f (с) и основание b - a.
Теорема (необходимое условие интегрируемости): Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ а, b ], то она ограничена на этом отрезке. Необходимое условие не является достаточным.
Теорема (достаточное условие интегрируемости): Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ], то она интегрируема на нём.
Формула Ньютона Лейбница.
Теорема (Основная теорема интегрального исчисления): Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ]. Тогда, если функция F (x) является некоторой первообразной на этом отрезке, то справедлива следующая формула (Ньютона-Лейбница):
Замена переменной в определённом интеграле:
Интегрирование по частям в определённом интеграле:
§55 Геометрические приложения определённого интеграла.
Площадь криволинейной трапеции:
· в прямоугольных координатах;
· в полярных координатах.
Объём тела вращения.
Несобственные интегралы.
Определение 1: Определённый интеграл 
, где промежуток интегрирования [ а, b ] – конечный, а подынтегральная функция f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ], называется ещё собственным интегралом.
Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, то есть определённый интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определённый интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нём бесконечный разрыв.
В таких интегралах сверх предельного перехода выполняется ещё один, то есть осуществляется двукратный переход к пределу.
