Определение 1: Функция f (x)= A 0 xn + A 1 xn -1+ A 2 xn -2+…+ An -1 x + An, где п — целое положительное число, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от х; число п называется степенью многочлена. Здесь коэффициенты A 0, A 1,..., Ап — действительные или комплексные числа; независимая переменная х также может принимать как действительные, так и комплексные значения.
Определение 2: Корнем многочлена называется такое значение переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.
Теорема 1 (теорема Безу): При делении многочлена f (x) на разность х - а получается остаток, равный f (a).
Следствие: Если а есть корень многочлена, т. е. f (a)=0, то f (x) делится без остатка на х - а и, следовательно, представляется в виде произведения
f (x)=(x - a) f 1(x), где f 1(x) — многочлен.
Пример:
Разложим многочлен на множители: f (x)= x 3-2 x 2+3 x -2
Выпишем делители свободного члена: ±1; ±2.
x =1 – корень многочлена, так как f (1)=0.
x 3-2 x 2+3 x -2 | x -1
x 3- x 2 x 2- x +2
- x 2+3 x -2
- x 2+ x
2 x -2
2 x -2
f (x)= x 3-2 x 2+3 x -2=(x -1)(x 2- x +2)
Будем рассматривать уравнения с одним неизвестным х.
Определение 3: Всякое число (действительное или комплексное), которое, будучи подставлено в уравнение вместо х, обращает уравнение в тождество, называется корнем уравнения.
Определение 4: Если уравнение имеет вид Q (x) = 0, где Q (x)- многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени п.
Из определения следует, что корни алгебраического уравнения Q (x) = 0 те же, что и корни многочлена Q (x).
Вопрос: Всякое ли уравнение имеет корни?
В случае неалгебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалгебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня — ни действительного, ни комплексного.
В случае алгебраического уравнения ответ положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры:
Теорема 2: (основная теорема алгебры). Всякая целая рациональная функция f(x) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный. Эта теорема доказывается в высшей алгебре.
Теорема 3: Всякий многочлен n -й степени разлагается на n линейных множителей вида х - а и множитель, равный коэффициенту при хп.
или
Каждый многочлен Q (x) может быть представлен в виде произведения:
Q (x)= A 0(x - а 1)(x - а 2)…(x - аn),
где A 0 — коэффициент при старшей степени многочлена Q (x), а а 1, а 2, …, аn - корни уравнения Q (x)=0.
Множители (x - а 1), (x - а 2), …, (x - аn) называются элементарными множителями.
Многочлен п-й степени не может иметь более чем п различных корней.
Виды многочленов:
| Многочлен n -ой степени | А 0 хn + А 1 хn -1+…+ Аn -2 х 2+ Аn -1 х + Аn или Ахn + Вхn -1+…+ Uх 2+ Vх + W | Примеры |
| Многочлен четвёртой степени | Ах 4+ Вх 3+ Сх 2+ Dх + E | -х 4-2 х 3+3 х 2+8, где А =-1; В =-2; С =3; D =0; E =8; |
| Многочлен третьей степени | Ах 3+ Вх 2+ Сх + D | 2 х 3- х 2+4 х, где А =2; В =-1; С =4; D =0; |
| Многочлен второй степени | Ах 2+ Вх + С | -х 2+4 х -3, где А =-1; В =4; С =-3; |
| Многочлен первой степени | Ах + В | х +8, где А =1; В =8; |
| Многочлен нулевой степени | А | 1, где А =1. |
Кратные корни многочлена.
Если в разложении многочлена п -й степени на линейные множители
Q (x)= A 0(x - а 1)(x - а 2)…(x - аn)
некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид:
Q (x)= A 0(x - а 1) k 1(x - а 2) k 2…(x - аm) k m, где k 1+ k 2+…+ km = n и m £ n.
В этом случае корень х = а 1называется корнем кратности k 1или k 1-кратным корнем, х = а2 — корнем кратности k2 и т.д.
Например:
3· х 5·(х +2)3·(х -1)2·(х -2)2·(х +5)
х =0 пятикратный корень; х =-2 трёхкратный корень; х =1 двукратный корень;
х =2 двукратный корень; х =-5 однократный корень.
Если многочлен имеет корень х = а кратности k, то мы будем считать, что многочлен имеет k одинаковых корней.
Тогда из теоремы о разложении многочлена на линейные множители получается следующая теорема.
Теорема 1: Всякий многочлен п -й степени имеет ровно п корней (действительных или комплексных).
Рассмотрим квадратный трёхчлен ах 2+ bx + c:
D >0 существует два различных действительных корня;
D =0 существует два совпавших действительных корня;
D <0 существует два различных комплексных (сопряжённых) корня.
