Разложение многочлена на множители

Определение 1: Функция f (x)= A ₀ xⁿ + A ₁ x^{n -1}+ A ₂ x^{n -2}+…+ A_{n -1} x + A_n, где п — целое положительное число, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от х; число п называется степенью многочлена. Здесь коэффициенты A ₀, A ₁,..., А_п — действительные или комплексные числа; независимая переменная х также может принимать как действительные, так и комплексные значения.

 

Определение 2: Корнем многочлена называется такое значение переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

 

Теорема 1 (теорема Безу): При делении многочлена f (x) на разность х - а получается остаток, равный f (a).

 

Следствие: Если а есть корень многочлена, т. е. f (a)=0, то f (x) делится без остатка на х - а и, следовательно, представляется в виде произведения

f (x)=(x - a) f ₁(x), где f ₁(x) — многочлен.

Пример:

Разложим многочлен на множители: f (x)= x ³-2 x ²+3 x -2

Выпишем делители свободного члена: ±1; ±2.

x =1 – корень многочлена, так как f (1)=0.

x ³-2 x ²+3 x -2 | x -1

x ³- x ² x ²- x +2

- x ²+3 x -2

- x ²+ x

2 x -2

2 x -2

f (x)= x ³-2 x ²+3 x -2=(x -1)(x ²- x +2)

 

Будем рассматривать уравнения с одним неизвестным х.

 

Определение 3: Всякое число (действительное или комплексное), которое, будучи подставлено в уравнение вместо х, обращает уравнение в тождество, называется корнем уравнения.

 

Определение 4: Если уравнение имеет вид Q (x) = 0, где Q (x)- многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени п.

Из определения следует, что корни алгебраического уравнения Q (x) = 0 те же, что и корни многочлена Q (x).

 

Вопрос: Всякое ли уравнение имеет корни?

В случае неалгебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалгебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня — ни действительного, ни комплексного.

В случае алгебраического уравнения ответ положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры:

 

Теорема 2: (основная теорема алгебры). Всякая целая рациональная функция f(x) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный. Эта теорема доказывается в высшей алгебре.

 

Теорема 3: Всякий многочлен n -й степени разлагается на n линейных множителей вида х - а и множитель, равный коэффициенту при х^п.

или

Каждый многочлен Q (x) может быть представлен в виде произведения:

Q (x)= A ₀(x - а ₁)(x - а ₂)…(x - а_n),

где A ₀ — коэффициент при старшей степени многочлена Q (x), а а ₁, а ₂, …, а_n - корни уравнения Q (x)=0.

 

Множители (x - а ₁), (x - а ₂), …, (x - а_n) называются элементарными множителями.

 

Многочлен п-й степени не может иметь более чем п различных корней.

Виды многочленов:

Многочлен n -ой степени	А 0 хn + А 1 хn -1+…+ Аn -2 х 2+ Аn -1 х + Аn или Ахn + Вхn -1+…+ Uх 2+ Vх + W	Примеры
Многочлен четвёртой степени	Ах 4+ Вх 3+ Сх 2+ Dх + E	-х 4-2 х 3+3 х 2+8, где А =-1; В =-2; С =3; D =0; E =8;
Многочлен третьей степени	Ах 3+ Вх 2+ Сх + D	2 х 3- х 2+4 х, где А =2; В =-1; С =4; D =0;
Многочлен второй степени	Ах 2+ Вх + С	-х 2+4 х -3, где А =-1; В =4; С =-3;
Многочлен первой степени	Ах + В	х +8, где А =1; В =8;
Многочлен нулевой степени	А	1, где А =1.

 

Кратные корни многочлена.

Если в разложении многочлена п -й степени на линейные множители

Q (x)= A ₀(x - а ₁)(x - а ₂)…(x - а_n)

некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид:

Q (x)= A ₀(x - а ₁) ^{k 1}(x - а ₂) ^{k 2}…(x - а_m) ^{k m}, где k ₁+ k ₂+…+ k_m = n и m £ n.

В этом случае корень х = а ₁называется корнем кратности k ₁или k ₁-кратным корнем, х = а₂ — корнем кратности k₂ и т.д.

 

Например:

3· х ⁵·(х +2)³·(х -1)²·(х -2)²·(х +5)

х =0 пятикратный корень; х =-2 трёхкратный корень; х =1 двукратный корень;

х =2 двукратный корень; х =-5 однократный корень.

 

Если многочлен имеет корень х = а кратности k, то мы будем считать, что многочлен имеет k одинаковых корней.

Тогда из теоремы о разложении многочлена на линейные множители получается следующая теорема.

 

Теорема 1: Всякий многочлен п -й степени имеет ровно п корней (действительных или комплексных).

Рассмотрим квадратный трёхчлен ах ²+ bx + c:

D >0 существует два различных действительных корня;

D =0 существует два совпавших действительных корня;

D <0 существует два различных комплексных (сопряжённых) корня.