Правильный четырехугольник в основании призмы

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √.

При решении задач на тему "правильная четырехугольная призма" подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания.

То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат.

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см², а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение.
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна √144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√(12² + 12²) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2)² + 14²) = 22 см

Ответ: 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a² + a² = 5²
2a² = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h² + 12,5 = 4²
h² + 12,5 = 16
h² = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a² + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см².

Ответ: 25 + 10√7 ≈ 51,46 см².

Параллелограмм в основании призмы

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √.

Задача

Основанием прямой призмы ABCD A₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4√3 см и углом, равным 30 градусов. Диагональ AC₁ призмы образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.
Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, то углы B и D. будут равны 180 - 30 = 150 градусов.
Диагональ параллелограмма AC, таким образом, образует треугольник ACD с углом C равным 150 градусов.
Применим теорему косинусов, при этом обозначив диагональ параллелограмма как d, а стороны параллелограмма как a и b. Учтем, что косинус 150 градусов равен cos(150°) = -√3 / 2. Получим:
d² = a² + b² - 2abcos(150°)
d² = 16 + 48 - 2 * 4 * 4√3 * (-√3 / 2) = 112
d = 4√7
AC = 4√7

Зная величину диагонали параллелограмма, найдем высоту параллелограмма. Треугольник, который образует диагональ AC₁ (AC₁С) с основанием призмы, согласно условию задачи (призма - прямая) является прямоугольным. Угол ∠C₁AC по условию равен 60 градусов. Для прямоугольного треугольника тангенс угла ∠C₁AC равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg (∠C₁AC) = C₁С / AC. Учтем, что тангенс 60 градусов равен tg 60° = √3.
Соответственно, C₁С = AC tg (∠C₁AC)
C₁С = 4√7 * tg60°
C₁С = 4√21

Зная высоту призмы, определим площадь ее боковой поверхности:
S = 2ha + 2hb
S = 2 * 4 √21 * 4 √3 + 2 * 4 √21 * 4 = 96√7 + 16√21 ≈ 327,31

Ответ: 96√7 + 16√21 ≈ 327,31

Ромб в основании призмы

Задача.
Основание прямой призмы - ромб с углом 120 градусов. БОльшая диагональ призмы равна 8см и составляет с боковым ребром угол 60 градусов. Найти сторону ромба и меньшую диагональ призмы.

Решение.
Поскольку диагональ AC1 образует с ребром AA1 угол 60 градусов, призма является прямой, то угол C1AC равен 90 - 60 = 30 градусов.

Исходя из этого cos 30 = AC / AC1 = √3 / 2

AC / AC1 = √3 / 2
AC / 8 = √3 / 2
2AC = 8√3
AC = 4√3

Поскольку угол ADC равен 120 градусам, то угол BAD равен 60 градусам. (Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180(n-2) = 360 градусам, углы ромба попарно равны).

Исходя из того, что угол BAD равен 60 градусам, треугольники ABD и BDC- равносторонние. (Так как ABCD - ромб, то они равнобедренные, следовательно углы при основании равны, значит они равны (180 - 60) / 2 = 60 градусов. Треугольник, у которого все углы равны - равносторонний).

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, AO = AC / 2 = 4√3 / 2 = 2√3

Поскольку треугольник ABD правильный, то AO является одновременно высотой и биссектрисой. Учтем, что высота правильного треугольника равна
h = а √3 / 2, тогда
а √3 / 2 = 2√3
а = 4

Зная, что BD = 4 см, DD1 = 4 см, по теореме Пифагора найдем меньшую диагональ:
BD12 = 4 + 4
Таким образом, сторона ромба равна 4 см, а, так как треугольники ABD и BDC- равносторонние, то и меньшая диагональ ромба равна 4 см.

Для того, чтобы найти длину ребра призмы, учтем, что диагональ AC1 = 8 см, а угол C1AC = 30 градусам. Тогда sin 30 = C1C / AC1 = 1/2

C1C / 8 = 1/2
C1C = 4 см

Зная что BD = 4 см (меньшая диагональ ромба), D1D = 4 см (ребро призмы), длину меньшей диагонали призмы найдем по теореме Пифагора:
BD1² = DD1² + BD²
BD1² = 4² + 4²
BD1² = 32
BD1 = 4√2

Ответ: Сторона ромба - 4 см, меньшая диагональ призмы с ромбом в основании равна 4√2 см.

Параллепипед

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - параллелепипед). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √.

При решении задач, учитывайте определение параллелепипеда:
Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм.

Задача

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Определите высоту параллелепипеда, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро равно 5 см.

Решение.

Поскольку одна из вершин основания параллелепипеда (обозначим ее F) одинаково удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда, то вместе с диагональю нижнего основания (обозначим ее AC) она образует равнобедренный треугольник AFC. AF = AC по условию. Одновременно, AF - это ребро параллелепипеда.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике AFC стороны равны следующим величинам: AF=FC=5 см, AC = 8 см.

Высота равнобедренного треугольника AFC одновременно, будет являться высотой параллелепипеда. Пусть она опущена в точке K.
Кроме того, высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам. Откуда, по теореме Пифагора высота будет равна:

FK² + (AC/2)² = FC²
FK² + 16 = 25
FK² = 9
FK = 3 см

Ответ: высота параллелепипеда равна 3 см.

Задача

Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = 6 см, DB = 5 см, BC1 = 4 см.

Решение.

Для нахождения длин сторон (поскольку параллелепипед в условии задачи прямоугольный, а значит, все ребра пересекаются под прямым углом) используем теорему Пифагора.

Найдем BB1 в прямоугольном треугольнике DBB1
BB1 = √(B1D² - BD²)
BB1 = √(36 - 25) = 3

Соответственно
СС1 = BB1 = 3 см

Для прямоугольного треугольника BC1C
BC = √(BC1² - C1C²)
BC = √(16 - 9) = √7

В треугольнике BCD найдем CD
CD = √(BD² - BC²)
CD = √(25 - 7) = √18 = 3√2

Откуда площадь основания параллелепипеда равна:
S = BC * CD = √7 * 3√2 = 3√14

Ответ: площадь основания прямоугольного параллелепипеда равна 3√14

Параллелепипед (часть 2)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема стереометрия - параллелепипед). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"

Задача.
Основание прямоугольного параллелепипеда - ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны P и Q

Решение.
Площадь первого сечения выразим как
P = hd₁, где
h - высота параллелепипеда
d₁ - длина диагонали

Площадь второго сечения выразим как
Q= hd₂, где
h - высота параллелепипеда
d₂ - длина диагонали

Соответственно,
d₁ = P / h
d₂ = Q / h

Площадь боковой поверхности равна
S = 4ah, где
a - длина стороны ромба
h - высота параллелепипеда

По теореме Пифагора
a = sqrt((d₁ / 2)² + (d₂ / 2)²)
a = sqrt(d₁² / 4 + d₂² / 4)
a = sqrt(d₁² + d₂²) / 2

Тогда
S = 4ah
S = 4h sqrt(d₁² + d₂²) / 2
S = 2h sqrt(d₁² + d₂²)

поскольку
d₁ = P / h
d₂ = Q / h

то
S = 2h sqrt((P / h)² + (Q / h)²)
S = 2h sqrt(P ² + Q²) / h
S = 2 sqrt(P ² + Q²)

Ответ: S = 2 √(P ² + Q²)

Пирамида. Решение задач