Задача. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Найти площадь боковой поверхности и высоту пирамиды

Решение.
Исходя из свойств правильной пирамиды, каждая из ее сторон является равнобедренным треугольником.
Площадь равнобедренного треугольника найдем по формуле:

S = 5 sqrt ((13 + 5) (13 - 5))
S = 5 √ 144 = 60

Поскольку сторон у пирамиды четыре, то площадь боковой поверхности будет равна 60 * 4 = 240 см2

Поскольку основанием пирамиды является квадрат, то KN = 10/2 = 5 см
Поскольку каждая грань правильной пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, а в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к третьей стороне совпадают, то CN = 10/2 = 5

ON² + CN² = OC²
ON² + 25 = 169
ON² = 144
ON = 12

OK²+ KN²= ON²
OK² + 25 = 144
OK = √119

Ответ: √119, 240 см².

Правильная пирамида с четырехугольником в основании (часть 3)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача.
Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см.Определите полную поверхность пирамиды,если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60.

Решение.

Поскольку угол ONK равен 60 градусам, то
KN = ON cos 60 = 10 * 1/2 = 5 см

Так как, по условию задачи, пирамида является правильной, то K - проецирется в центр основания, которое является квадратом. Значит сторона основания равна

AD = 2KN = 2 * 5 = 10 см

Таким образом, площадь основания

S₁ = AD² = 10² = 100 см².

Найдем площадь боковой грани
S₂ = 1/2 CD * ON
S₂ = 1/2 * 10 * 10 = 50 см².

Таким образом общая площадь
S = S₁ + 4S₂ = 100 + 4 * 50 = 300 см².

Ответ: 300 см².

Нахождение углов пирамиды

Примечание. Это урок с решениями задачам по геометрии (раздел стереометрия, пирамида с четырехугольником в основании). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна 3а.
Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания.

Решение.

Найдем угол наклона ребер к плоскости основания.
Поскольку в основании правильной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то, в данном случае, это - квадрат. Поскольку высота пирамиды проецируется в центр основания, то это - точка пересечения диагоналей. Откуда KN = а/2

Треугольник OKN - прямоугольный, OK - высота, равная 3а.
Найдем тангенс угла KNO, обозначив его как α.

tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctg 6 ≈ 80.5377°

Найдем угол наклона ребра пирамиды.
Диагональ квадрата со стороной а равна а√2. Поскольку высота проецируется в центр основания, то в этой точке диагонали делятся пополам.

Таким образом, для прямоугольного треугольника OKC тангенс угла KCO (обозначим его как β) равен

tg β = OK / KC
tg β = 3a / (а√2/2) = 6 / √2
β = arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Ответ: угол наклона граней arctg 6 ≈ 80.5377°; угол наклона ребер arctg 6/√2 ≈ 76.7373°