Определение 1. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.
Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
Правильная усеченная пирамида
Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.
Свойства правильной пирамиды
- боковые ребра равны
- апофемы равны
- боковые грани равны
- все боковые грани являются равные равнобедренными треугольниками
- в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
- если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно, где n — количество сторон многоугольника основания
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
Правильная пирамида
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".
Задача
Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.
Решение.
Поскольку пирамида правильная, учтем следующее:
- Высота пирамиды проецируется на центр основания
- Центр основания правильной пирамиды по условию задачи - равносторонний треугольник
- Центр равностороннего треугольника является одновременно центром вписанной и описанной окружности
- Высота пирамиды образует с плоскостью основания прямой угол
Объем пирамиды можно найти по формуле:
V = 1/3 Sh
Поскольку апофема правильной пирамиды образует вместе с высотой пирамиды прямоугольный треугольник, для нахождения высоты используем теорему синусов. Кроме того, примем во внимание:
- Первый катет рассматриваемого прямоугольного треугольника является высотой, второй катет - радиусом вписанной окружности (в правильном треугольнике центр одновременно является центром вписанной и описанной окружности), гипотенуза является апофемой пирамиды
- Третий угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам (сумма углов треугольника - 180 градусов, угол 60 градусов дан по условию, второй угол - прямой по свойствам пирамиды, третий 180-90-60 = 30)
- синус 30 градусов равен 1/2
- синус 60 градусов равен корню из трех пополам
- синус 90 градусов равен 1
Согласно теореме синусов:
4 / sin(90) = h / sin (60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
откуда
r = 2
h = 2√3
В основании пирамиды лежит правильный треугольник, площадь которого можно найти по формуле:
S правильного треугольника = 3√3 r2.
S = 3√3 22.
S = 12√3.
Теперь найдем объем пирамиды:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 см3.
Ответ: 24 см3.
Задача
Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды.
Решение.
Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.
Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:
72 + 242 = x2
x2 = 625
x = 25
Ответ: 25 см
