Сумма углов многоугольника
Примечание. Данный материал содержит теорему и ее доказательство, а также ряд задач, иллюстрирующих применение теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника на практических примерах.
Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника
Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).
Доказательство.
Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Пусть A 1 A 2... A n – данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4,..., Δ A 1 A n – 1 A n. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – (n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° (n – 2).
Задача.
В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные - 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?
Решение.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.
Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).
Значит, для нашего случая:
180(n-2)=3*80+x*150, где
3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит обозначим их количество как x.
Однако, из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.
Таким образом уравнение будет выглядеть так:
180(n-2)=240+150(n-3)
Решаем полученное уравнение
180n - 360 = 240 + 150n - 450
180n - 150n = 240 + 360 - 450
30n = 150
n=5
Ответ: 5 вершин
Задача.
Какое количество вершин может иметь многоугольник, если величина каждого из углов менее 120 градусов?
Решение.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.
Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех углов равна 180°(n-2).
Значит, для нашего случая необходимо сначала оценить граничные условия задачи. То есть, сделать допущение, что каждый из углов равен 120 градусам. Получаем:
180(n-2)=120n
180n - 360 = 120n
180n - 120n = 360 (это выражение рассмотрим отдельно ниже)
60n = 360
n=6
Исходя из полученного уравнения, делаем вывод: при величине углов менее 120 градусов, количество углов многоугольника менее шести.
Объяснение:
Исходя из выражения 180n - 120n = 360, при условии, что вычитаемое правой части будет менее 120n, разность должна быть более 60n. Таким образом, частное от деления всегда будет менее шести.
Ответ: количество вершин многоугольника будет менее шести.
Задача
В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера - целое число. Найти количество вершин многоугольника.
Решение.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.
Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех внешних углов равна 360°.
Таким образом,
3*(180-113)+(n-3)x=360
правая часть выражения - сумма внешних углов, в левой части сумма трех углов известна по условию, а градусная мера остальных (их количество, соответственно n-3, так как три угла известны) обозначена как x.
201+(n-3)x=360
(n-3)x=159
159 раскладывается только на два множителя 53 и 3, при чем 53 - простое число. То есть других пар множителей не существует.
Таким образом, n-3 = 3, n=6, то есть количество углов многоугольника - шесть.
Ответ: шесть углов
Задача
Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.
Решение
Как известно, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 3600. Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника не менее четырех острых внутренних углов, следовательно среди его внешних углов не менее четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*900 = 3600. Имеем противоречие. Утверждение доказано.
Правильный многоугольник
Задача.
Найдите количество сторон правильного многоугольника,центральный угол которого равен:
1)120°
2)60°
3)72°
Решение.
Центральный угол - это угол, образованный двумя радиусами.
Так как многоугольник является правильным, все его стороны равны и все треугольники, которые образованы центром многоугольника и его углами - равны. Таким образом, все центральные углы также равны.
Общая мера суммы всех центральных углов равна 360 градусов.
Таким образом, количество сторон правильного многоугольника, исходя из градусной меры центрального угла будет равна:
1) 360 / 120 = 3 (правильный треугольник)
2) 360 / 60 = 6 (правильный шестиугольник)
3) 360 / 72 = 5 (правильный пятиугольник)
Ответ: 3; 6; 5 сторон.
Стереометрия
Куб
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о кубе). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".
Задача.
Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его объем.
Решение.
Поскольку куб имеет шесть одинаковых сторон, найдем площадь одной из них.
24 / 6 = 4 см2
Зная площадь стороны (основания) куба, найдем величину ребра
a = √4 = 2 см
Откуда его объем равен
S = a3 = 23 = 8 см3.
Ответ: 8 см3.
Прямые и плоскости
Параллельные плоскости
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел плоскости). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"
Задача
Луч KM пересекает параллельные плоскости α и β в точках M1 и М2, а луч КР- в точках Р1 и Р2 соответственно. Вычислите длину отрезка М1М2, если
КМ1 = 8см.
М1 Р1: М2 Р2 = 4: 9
Решение.
Совершив геометрические построения, согласно условию задачи, увидим, что у нас образовались треугольники KM1P1 и KM2P2.
У них общий угол K, а, поскольку плоскости α и β параллельны, то прямые М1 Р1 и М2 Р2, лежащие на этих плоскостях, также параллельны. Поскольку параллельные прямые, пересекающие третью, образуют с ней равные углы, то треугольники KM1P1 и KM2P2 - подобны по трем углам. То есть имеют равные углы.
Поскольку треугольники KM1P1 и KM2P2 подобны, то
М1 Р1 / М2 Р2 = КМ1 / KМ2
Обозначим KМ2 как х. Таким образом:
4 / 9 = 8 / x
4x = 72
x = 18
Ответ: 18 см
Задача
Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскость A и B в точках А1и А2 соответственно, прямая m - в точках В1 и В2. Найти длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12см, В1О:ОВ2 = 3:4
Решение.
Через прямые А1А2 и В1В2 можно повести плоскость, которая пересечёт параллельные плоскости по параллельным прямым А1В1 и А2В2.
У образовавшихся треугольников ОА1В1 и ОА2В2 соответствующие углы равны. Углы при вершине О равны как вертикальные, а остальные - как внутренние накрест лежащие у параллельных прямых. Следовательно треугольники ОА1В1 и ОА2В2 подобны.
У подобных треугольников соответствующие стороны соотностятся через коэффициент подобия.
Откуда:
ОВ1:ОВ2 = А1В1:А2В2,
Следовательно:
А2В2 = 4 * 12 / 3 = 16
Ответ: 16 см.
Параллельные плоскости (часть 2)
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел плоскости). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"
Задача
Через точку К, не лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета, проведены прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость альфа в точке А1 а плоскость бета в точке А2, и прямая b пересекает эти плоскости в точках B1 и B2 соответственно.
Найти KB2 если A2B2 относится к A1B1 как 4:3, а KB1 = 14 см.
Решение.
Через прямые a и b проведем плоскость, образованную этими пересекающимися прямыми. В этой плоскости лежат треугольники A2KB2 и A1KB1. Эти треугольники подобны, так как угол К у них общий, а остальные углы также равны, так как образованы секущими KA2 и KB2 на параллельных прямых A1B1 и A2B2, так как плоскости альфа и бета - параллельны.
Таким образом, коэффициент подобия верен для соотношения любых двух соответствующих сторон, то есть:
KB2: KB1 = 4:3
Откуда
KB2: 14 = 4:3
KB2 = 14 * 4 / 3 = 56/3 = 18 2/3 см
Ответ: 18 2/3 см
